Indice di concentrazione

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In statistica, un indice di concentrazione (o indice di omogeneità) è un indice statistico che serve per misurare in che modo un bene trasferibile è diviso tra la popolazione. Si dice che una determinata variabile è equidistribuita tra individui, se ciascun individuo ha la stessa quantità della media (concentrazione minima). Si dice invece che la concentrazione è massima se un solo individuo ha tutta la quantità e gli altri nulla. Il concetto opposto all'omogeneità è l'eterogenità.

In economia si usa per misurare la presenza di beni o imprese in un mercato o in un territorio. Nell'ambito della statistica economica o sociale si possono portare come esempio di beni condivisibili la ricchezza e il patrimonio, cioè ci si chiede come la ricchezza è distribuita tra le persone.

L'indice di concentrazione scelto può essere confrontato a consuntivo con l'ottimo paretiano calcolabile a priori se sono note le risorse iniziali e il tipo di regime economico (concorrenza perfetta, oligopolio, ecc.) relativo al perimetro del sistema preso in esame.

Il Principio di Pareto, e dagli anni '80 in particolare la matematica frattale, trovano un vasto campo di applicazione per i sistemi complessi: pur senza una dimostrazione teorica, questa legge empirica evidenzia la scarsità dei fattori, vale a dire il fatto che, in misura diversa prossima all'ottimo, ma comunque in tutti i tipi di regimi economici esistenti e nelle diverse fasi del ciclo macroeconomico, la redistribuzione della ricchezza possiede una dinamica o trend proprio, che tende a concentrarsi spontaneamente in un numero limitato di operatori.

Metodo[modifica | modifica wikitesto]

Ordiniamo gli n individui per ordine crescente di xi (per esempio la ricchezza). Indichiamo con Qi la fetta di ricchezza posseduta dagli i individui più poveri

Indichiamo con Pi la percentuale degli individui con un reddito uguale o inferiore a xi, cosicché i valori Qi=35% e Pi=80% vengono letti come: l'80% degli individui più poveri possiede tutti insieme solo il 35% della ricchezza.

Esempio:

i  |   xi  |  Σxi  |  Qi    |   Pi
---+-------+------+--------+------
1  |  10   |   10 |  0,050 | 0,20  
2  |  15   |   25 |  0,125 | 0,40
3  |  20   |   45 |  0,225 | 0,60
4  |  25   |   70 |  0,350 | 0,80
5  | 130   |  200 |  1,000 | 1,00

Curva di Lorenz[modifica | modifica wikitesto]

Tali valori vengono rappresentati con la cosiddetta curva di Lorenz, sviluppata da Max O. Lorenz nel 1905 come strumento grafico per l'analisi della distribuzione del reddito, dove sul piano cartesiano si rappresentano sull'ascissa (asse delle ) i Pi, e sull'ordinata (asse delle ) i Qi, cioè le quantità cumulate relative.

L'area compresa tra la curva così definita e la retta di equidistribuzione (la retta a 45°) è detta area di concentrazione e può essere utilizzata come base per la definizione di appositi rapporti di concentrazione, di cui l'indice di Gini costituisce un esempio. Maggiore infatti è la concentrazione osservata, maggiore sarà tale area.

Lorenz-curve1.png

Proprietà matematiche
  • La curva di Lorenz assume valori compresi fra 0 e 1, (insieme di definizione di qualsiasi funzione di probabilità)
  • la curva di Lorenz non esiste se la media delle funzioni di probabilità è zero oppure infinito.
  • la curva di Lorenz è una funzione continua. Tuttavia, distribuzioni di probabilità discontinue possono essere approssimate mediante come limiti di una serie di curve di Lorenz continue, definite ciascuna in un intervallo opportunamente piccolo di valori.
  • l'informazione presente in una curva di Lorenz può essere misurata e sintetizzata mediante due indicatori: l'indice di Gini e l'indice di asimmetria di Lorenz.
  • la curva di Lorenz è posta sotto la bisettrice del primo quadrante (la linea di perfetta eguaglianza).
  • se la variabile misurata è non-negativa (come il reddito),
    • la linea di perfetta diseguaglianza è il limite inferiore della Curva di Lorenz,
    • la curva di Lorenz è crescente.

Se la variabile misurata è il patrimonio netto, quindi corretto di un eventuale debito, allora la Curva può invece assumere valori negativi.

La Curva di Lorenz è invariante su una scala positiva di valori: in altre parole, se X è una variabile aleatoria, per ogni costante c > 0, l'altra variabile aleatoria data da possiede la stessa Curva di Lorenz di X.
Tuttavia, la Curva di Lorenz non ha la proprietà di linearità, poiché è modificata da un traslazione, in modo tale che la variazione dell'uguaglianza è direttamente proporzionale al rapporto F − L(F) (= ) fra le media della variabile originale e la media della variabile traslata (alla prima potenza). Quindi, se X è una variabile aleatoria con una Curva di Lorenz (di una distribuzione di probabilità cumulata: x_i-->f(x)-->F(x)-->L(F(x)) ) nota L X (F) avente media μ X , allora per una costante numerica qualsiasi c ≠ −μ X e positiva, la variabile aleatoria X + c avrà una Curva di Lorenz:

  • Se la Curva di Lorenz L(F) è uniformemente differenziabile, la retta tangente a L(F) è perfettamente parallela alla linea di perfetta eguaglianza, nel punto F(μ), nel quale è anche massima la differenza F − L(F), la distanza verticale fra le quote della Curva di Lorenz e la retta di perfetta eguaglianza. Questo gap è pari alla metà dello scarto medio assoluto:

Indice di concentrazione di Gini[modifica | modifica wikitesto]

Corrado Gini propose l'indice di concentrazione che porta il suo nome (detto pure coefficiente di Gini)

che assume il valore in presenza di equidistribuzione e il valore massimo

per cui si utilizza l'indice relativo di concentrazione di Gini

oppure il rapporto di concentrazione di Gini

Indice di concentrazione di Herfindahl-Hirschman[modifica | modifica wikitesto]

Un altro indicatore di concentrazione è l'indice di Herfindahl-Hirschman (), usato soprattutto per misurare il grado di concorrenza presente in un determinato mercato. L'indice è dato dalla somma dei quadrati delle quote di mercato (espresse in percentuale) detenute da ciascun agente.

dove è la quota di mercato dell'agente -esimo.

Il valore di è sempre positivo e varia tra 0, nel caso di mercato atomico, e 10.000, nel caso vi sia un solo agente nel mercato.

Secondo le "US Merger Guidelines", un valore di compreso tra 1.500 e 2.500 indica un mercato moderatamente concentrato, mentre un valore superiore ne indica uno fortemente concentrato.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]