Costruzione dei numeri reali

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In matematica, i numeri reali vengono costruiti in vari modi equivalenti. Tra questi, i più noti usano le sezioni di Dedekind e le successioni di Cauchy. Ciascuna di queste costruzioni definisce i numeri reali come una estensione dell'insieme dei numeri razionali.

Costruzione intuitiva a partire dai numeri decimali[modifica | modifica wikitesto]

Un numero reale è una quantità che può essere rappresentata come

dove è un numero intero e ogni è una cifra tra 0 e 9 (le cifre sono infinite). Questa definizione deve però tenere conto della doppia rappresentazione periodica dei decimali finiti: analogamente a quanto avviene per i numeri razionali, in cui due rappresentazioni come frazione danno talvolta lo stesso numero (ad esempio, e ), anche lo stesso numero reale può essere rappresentato in due modi diversi; questo accade quando la successione finisce con una successione di 9 consecutivi. Ad esempio, i numeri

rappresentano lo stesso numero reale. Si può ovviare a questo problema definendo come numero reale una quantità rappresentabile come in cui la successione non termina con una infinità di 9 consecutivi. In questo modo viene scartata a priori una delle due rappresentazioni equivalenti.

Questa costruzione si collega alle successive nel modo seguente: il numero è il numero reale che soddisfa questa doppia disequazione per ogni :

La rappresentazione tramite decimali è certamente la più nota e maneggevole; i matematici preferiscono però usare costruzioni più astratte per i numeri reali, essenzialmente per questi motivi:

  • l'aggiramento del problema della doppia rappresentazione è macchinoso e poco elegante
  • non è possibile definire le operazioni elementari di somma e moltiplicazione fra numeri reali con operazioni "cifra per cifra" nel modo solito (dovremmo "partire da destra") ma solo con approssimazioni troncate, ritrovandosi su un terreno analogo a quello delle successioni di Cauchy e delle sezioni di Dedekind,
  • la rappresentazione è ancorata alla base scelta (nello specifico la base 10) e quindi non è "canonica".

Costruzione tramite le sezioni di Dedekind[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Sezione di Dedekind.

Costruzione[modifica | modifica wikitesto]

Questa costruzione, introdotta da Richard Dedekind, nasce dall'osservazione che ogni numero razionale divide l'insieme dei razionali in due insiemi: l'insieme dei razionali tali che e l'insieme dei razionali tali che . Dedekind chiama quindi la coppia una sezione in due insiemi. D'altra parte, anche un numero reale come definisce una sezione , dove è dato da tutti i razionali tali che , mentre è dato da tutti i razionali con .

Dedekind definisce quindi un numero reale come una sezione dei numeri razionali. Nella definizione originaria, una sezione di Dedekind è una coppia di sottoinsiemi non vuoti di tali che

In questo modo però ogni numero razionale determina due sezioni:

  • dove è l'insieme dei razionali strettamente inferiori a e è l'insieme dei razionali maggiori o uguali a ,
  • dove è l'insieme dei razionali minori o uguali a e è l'insieme dei razionali strettamente superiori a .

Per evitare l'ambiguità, si fa a meno del secondo insieme della coppia e si definisce la sezione come costituita da un solo sottoinsieme di tale che

  • è non vuoto e differente da
  • per ogni in , se allora appartiene a .
  • non ha massimo, cioè non esiste in tale che per ogni altro in .

Con questa definizione l'ambiguità è eliminata: ogni numero razionale viene associato ad un'unica sezione. Si definisce quindi l'insieme dei numeri reali come l'insieme delle sezioni. Ad esempio, il numero irrazionale è definito dalla sezione

.

Quale conseguenza della costruzione stessa è evidente che in è presente una copia isomorfa di : l'insieme , dove indichiamo con il segmento iniziale .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Relazione d'ordine e completezza[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Assioma di Dedekind.

L'insieme delle sezioni ha una relazione d'ordine data dall'inclusione che gli fornisce la struttura di insieme totalmente ordinato. È anche evidente che questo ordinamento è quello giusto: riproduce quello già esistente sui razionali aggiungendovi inoltre l'importante proprietà di completezza o continuità, espressa dall'assioma di Dedekind: ogni insieme non vuoto e limitato ha un estremo superiore. Questa proprietà è equivalente a richiedere che i reali siano uno spazio metrico completo con la distanza usualmente definita.

Addizione[modifica | modifica wikitesto]

L'addizione fra numeri reali è definita nel modo seguente. Dati due sezioni e , la somma è la sezione

Una volta verificato che la definizione data produce una sezione, i numeri reali, con questa operazione, sono un gruppo commutativo, con elemento neutro .

Moltiplicazione[modifica | modifica wikitesto]

La costruzione della moltiplicazione è leggermente più macchinosa per via dei segni. Si definisce su tutti i reali positivi nel modo seguente:

e si estende ai numeri negativi usando la regola del segno. Anche in questo caso è facile dimostrare che gli insiemi prodotti sono sezioni.

L'insieme munito delle operazioni di somma e prodotto è un campo. Con l'ordinamento dato, questo è anche un campo archimedeo completo. Il sottoinsieme è un sottocampo, naturalmente isomorfo a .

Costruzione tramite successioni di Cauchy[modifica | modifica wikitesto]

Questa costruzione è più complessa, ma offre due vantaggi: la definizione delle operazioni di somma e prodotto è immediata, e la costruzione può essere generalizzata per fornire un procedimento generale per il completamento degli spazi metrici.

Costruzione[modifica | modifica wikitesto]

L'idea di Cantor è motivata dal fatto che ogni numero reale è ottenibile come limite di una successione di Cauchy di numeri razionali, ovvero di una successione di razionali tale che:

Sia l'insieme di tutte le successioni di Cauchy di numeri razionali. È evidente che (infinite) successioni distinte possono convergere allo stesso limite.

Si procede allora considerando equivalenti due successioni di Cauchy e che esibiscono la seguente proprietà:

Nel caso di successioni convergenti questo è equivalente a dire che "convergono allo stesso limite".

Che si tratti poi di una relazione di equivalenza è molto semplice da provare.

Si definisce allora l'insieme dei numeri reali come l'insieme quoziente di rispetto alla relazione di equivalenza così definita.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Relazione d'ordine e completezza[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Assioma di Dedekind.

Due numeri reali e sono in relazione se e solo se esistono due successioni di Cauchy che li definiscono tali che per ogni . Con questa relazione d'ordine, i numeri reali sono un insieme totalmente ordinato.

Somma e prodotto[modifica | modifica wikitesto]

Somma e prodotto vengono definiti termine a termine nelle successioni. Se e sono due successioni di Cauchy, si definisce cioè

Con queste due operazioni i numeri reali risultano essere un campo.

Completezza[modifica | modifica wikitesto]

La completezza può essere inferita quale conseguenza dell'Assioma di Dedekind. Può anche essere dimostrata, partendo dalla definizione, mostrando che ogni successione di Cauchy di numeri reali è convergente. Questa dimostrazione si presta ad essere generalizzata agli spazi metrici qualsiasi.

Anche in questa costruzione è evidente in la presenza di una copia isomorfa di : l'insieme , dove indichiamo con il segmento iniziale .

Completamento[modifica | modifica wikitesto]

L'operazione appena descritta consiste nell'aggiungere ad uno spazio metrico ulteriori punti, determinati da tutte le possibili successioni di Cauchy. Questa operazione può essere definita per ogni spazio metrico ed è chiamata completamento. Il risultato è uno spazio completo che contiene (una copia isomorfa di) . In particolare, i numeri reali formano uno spazio completo (per i reali ciò è equivalente all'assioma di Dedekind).

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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