Costruzione dei numeri reali

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In matematica, i numeri reali vengono costruiti in vari modi equivalenti. Tra questi, i più noti usano le sezioni di Dedekind e le successioni di Cauchy. Ciascuna di queste costruzioni definisce i numeri reali come una estensione dell'insieme dei numeri razionali.

Costruzione intuitiva a partire dai numeri decimali[modifica | modifica sorgente]

Un numero reale è una quantità che può essere rappresentata come

x=n+0.d_1d_2d_3...

dove n è un numero intero e ogni d_i è una cifra tra 0 e 9 (le cifre d_1,d_2,\ldots sono infinite). Questa definizione deve però tenere conto della doppia rappresentazione periodica dei decimali finiti: analogamente a quanto avviene per i numeri razionali, in cui due rappresentazioni come frazione danno talvolta lo stesso numero (ad esempio,  1/2 e 2/4 ), anche lo stesso numero reale può essere rappresentato in due modi diversi; questo accade quando la successione d_1,d_2,\ldots finisce con una successione di 9 consecutivi. Ad esempio, i numeri

1 = 0,99999999\ldots

rappresentano lo stesso numero reale. Si può ovviare a questo problema definendo come numero reale una quantità rappresentabile come x=n+0.d_1d_2d_3... in cui la successione d_i non termina con una infinità di 9 consecutivi. In questo modo viene scartata a priori una delle due rappresentazioni equivalenti.

Questa costruzione si collega alle successive nel modo seguente: il numero x=n+0.d_1d_2d_3... è il numero reale x che soddisfa questa doppia disequazione per ogni  k:

n + \frac{d_1}{10} + \frac{d_2}{100} + ... + \frac{d_k}{10^k} \leq x < n + \frac{d_1}{10} + \frac{d_2}{100} + ... + \frac{d_k}{10^k} + \frac{1}{10^k}.

La rappresentazione tramite decimali è certamente la più nota e maneggevole; i matematici preferiscono però usare costruzioni più astratte per i numeri reali, essenzialmente per questi motivi:

  • l'aggiramento del problema della doppia rappresentazione è macchinoso e poco elegante
  • non è possibile definire le operazioni elementari di somma e moltiplicazione fra numeri reali con operazioni "cifra per cifra" nel modo solito (dovremmo "partire da destra") ma solo con approssimazioni troncate, ritrovandosi su un terreno analogo a quello delle successioni di Cauchy e delle sezioni di Dedekind,
  • la rappresentazione è ancorata alla base scelta (nello specifico la base 10) e quindi non è "canonica".

Costruzione tramite le sezioni di Dedekind[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Sezione di Dedekind.

Costruzione[modifica | modifica sorgente]

Questa costruzione, introdotta da Richard Dedekind, nasce dall'osservazione che ogni numero razionale divide l'insieme \mathbb Q dei razionali in due insiemi: l'insieme A_r dei razionali tali che a < r e l'insieme  B_r dei razionali tali che  b\geq r. Dedekind chiama quindi la coppia (A_r;B_r) una sezione in due insiemi. D'altra parte, anche un numero reale come \sqrt 2 definisce una sezione (A,B) , dove  A è dato da tutti i razionali  a tali che a<\sqrt 2, mentre  B è dato da tutti i razionali  a con a>\sqrt 2 .

Dedekind definisce quindi un numero reale come una sezione dei numeri razionali. Nella definizione originaria, una sezione di Dedekind è una coppia (A,B) di sottoinsiemi non vuoti di \mathbb Q tali che

  • A\cap B = \empty
  • A\cup B = \mathbb{Q}
  • \forall a\in A, \forall b\in B, a < b

In questo modo però ogni numero razionale determina due sezioni:

  • (A,B) dove A è l'insieme dei razionali strettamente inferiori a  r e  B è l'insieme dei razionali maggiori o uguali a  r ,
  •  (A,B) dove A è l'insieme dei razionali minori o uguali a  r e  B è l'insieme dei razionali strettamente superiori a  r .

Per evitare l'ambiguità, si fa a meno del secondo insieme della coppia e si definisce la sezione come costituita da un solo sottoinsieme A di \mathbb Q tale che

  •  A è non vuoto e differente da \mathbb Q
  • per ogni a in  A , se a'<a allora a' appartiene a  A .
  •  A non ha massimo, cioè non esiste m in  A tale che m>a per ogni altro  a in  A .

Con questa definizione l'ambiguità è eliminata: ogni numero razionale viene associato ad un'unica sezione. Si definisce quindi l'insieme \mathbb R dei numeri reali come l'insieme delle sezioni. Ad esempio, il numero irrazionale \sqrt2 è definito dalla sezione

A = \{a \in \mathbb Q \ |\ a < 0 \ \text{oppure}\ a^2 < 2\}.

Quale conseguenza della costruzione stessa è evidente che in \mathbb R è presente una copia isomorfa di \mathbb Q : l'insieme \{X_q \mid q \in \mathbb Q \}, dove indichiamo con X_q il segmento iniziale \{x \in \mathbb Q \mid x < q\}.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Relazione d'ordine e completezza[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Assioma di Dedekind.

L'insieme delle sezioni ha una relazione d'ordine data dall'inclusione che gli fornisce la struttura di insieme totalmente ordinato. È anche evidente che questo ordinamento è quello giusto: riproduce quello già esistente sui razionali aggiungendovi inoltre l'importante proprietà di completezza o continuità, espressa dall'assioma di Dedekind: ogni insieme non vuoto e limitato ha un estremo superiore. Questa proprietà è equivalente a richiedere che i reali siano uno spazio metrico completo con la distanza usualmente definita.

Addizione[modifica | modifica sorgente]

L'addizione fra numeri reali è definita nel modo seguente. Dati due sezioni  A e  B , la somma  A+B è la sezione

 A+B= \{a+b\ |\ a\in A, b\in B\}

Una volta verificato che la definizione data produce una sezione, i numeri reali, con questa operazione, sono un gruppo commutativo, con elemento neutro X_0 = \{x<0\} .

Moltiplicazione[modifica | modifica sorgente]

La costruzione della moltiplicazione è leggermente più macchinosa per via dei segni. Si definisce su tutti i reali positivi nel modo seguente:

 A\times B = \{ab\ |\ a\in A, a>0, b\in B, b>0\} \cup \{a\in\mathbb Q\ |\ a<0\}

e si estende ai numeri negativi usando la regola del segno. Anche in questo caso è facile dimostrare che gli insiemi prodotti sono sezioni.

L'insieme \R munito delle operazioni di somma e prodotto è un campo. Con l'ordinamento dato, questo è anche un campo archimedeo completo. Il sottoinsieme \{X_q\ |\ q\in\mathbb Q\} è un sottocampo, naturalmente isomorfo a  \mathbb Q .

Costruzione tramite successioni di Cauchy[modifica | modifica sorgente]

Questa costruzione è più complessa, ma offre due vantaggi: la definizione delle operazioni di somma e prodotto è immediata, e la costruzione può essere generalizzata per fornire un procedimento generale per il completamento degli spazi metrici.

Costruzione[modifica | modifica sorgente]

L'idea di Cantor è motivata dal fatto che ogni numero reale è ottenibile come limite di una successione di Cauchy di numeri razionali, ovvero di una successione (u_n) di razionali tale che:

\forall \varepsilon >0 \; \exists N \in \N \; \forall m,n>N \quad |u_m - u_n|< \varepsilon\;

Sia \mathcal C l'insieme di tutte le successioni di Cauchy di numeri razionali. È evidente che (infinite) successioni distinte possono convergere allo stesso limite.

Si procede allora considerando equivalenti due successioni di Cauchy  (u_n) e  (v_n) che esibiscono la seguente proprietà:

(u_n) \sim (v_n) \Leftrightarrow  \lim_{n \to \infty}u_n-v_n=0

Nel caso di successioni convergenti questo è equivalente a dire che "convergono allo stesso limite".

Che si tratti poi di una relazione di equivalenza è molto semplice da provare.

Si definisce allora l'insieme \R dei numeri reali come l'insieme quoziente di \mathcal C rispetto alla relazione di equivalenza così definita.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Relazione d'ordine e completezza[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Assioma di Dedekind.

Due numeri reali  u e  v sono in relazione  u\leqslant v se e solo se esistono due successioni di Cauchy (u_n), (v_n) che li definiscono tali che u_n \leqslant v_n per ogni  n . Con questa relazione d'ordine, i numeri reali sono un insieme totalmente ordinato.

Somma e prodotto[modifica | modifica sorgente]

Somma e prodotto vengono definiti termine a termine nelle successioni. Se (u_n) e (v_n) sono due successioni di Cauchy, si definisce cioè

(u+v)_n=u_n+v_n
(u\cdot v)_n=u_n\cdot v_n

Con queste due operazioni i numeri reali risultano essere un campo.

Completezza[modifica | modifica sorgente]

La completezza può essere inferita quale conseguenza dell'Assioma di Dedekind. Può anche essere dimostrata, partendo dalla definizione, mostrando che ogni successione di Cauchy di numeri reali è convergente. Questa dimostrazione si presta ad essere generalizzata agli spazi metrici qualsiasi.


Anche in questa costruzione è evidente in \mathbb R la presenza di una copia isomorfa di \mathbb Q : l'insieme \{X_q \mid q \in \mathbb Q \}, dove indichiamo con X_q il segmento iniziale \{x \in \mathbb Q \mid x < q\}.

Completamento[modifica | modifica sorgente]

L'operazione appena descritta consiste nell'aggiungere ad uno spazio metrico \mathbb Q ulteriori punti, determinati da tutti le possibili successioni di Cauchy. Questa operazione può essere definita per ogni spazio metrico  X ed è chiamata completamento. Il risultato è uno spazio completo  X' che contiene (una copia isomorfa di)  X . In particolare, i numeri reali formano uno spazio completo (per i reali ciò è equivalente all'assioma di Dedekind).

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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