Costante di Landau-Ramanujan

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Costante di Landau-Ramanujan
Simbolo K
Valore 0,764223653589220662990698731...
(sequenza A064533 dell'OEIS)
Origine del nome Edmund Landau e Srinivasa Ramanujan
Frazione continua [0; 1, 3, 4, 6, 1, 15, 1, 2, 2, 3, 1, 23, ...]
(sequenza A125776 dell'OEIS)
Campo numeri reali

In matematica, la costante Landau-Ramanujan K è una costante che si presenta nella teoria dei numeri. K rappresenta la costante di proporzionalità tra il numero di interi positivi minori di x che sono la somma di due quadrati perfetti e

per x che tende a infinito; in altre parole, se N(x) è il numero di interi positivi minori di x somma di due quadrati perfetti, allora

Prende il nome di Edmund Landau che ne dimostrò l'enunciato nel 1908, mentre prende il nome di Srinivasa Ramanujan perché fu quello che la enunciò nel 1906, non riuscendo però a dimostrarla. La convergenza del limite alla costante K è tuttavia molto lenta:

x
10 7 1,0622
102 43 0,922765
103 330 0,867326
104 2749 0,834281
105 24028 0,815287
106 216341 0,804123

Una formula, trovata da Flajolet and Vardi nel 1996, che converge più velocemente a K è

dove è la funzione zeta di Riemann e è la funzione beta di Dirichlet.

Una formula esatta per K è

dove la produttoria è presa tra tutti i numeri primi p congrui a 3 modulo 4.

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