Costante di Gelfond

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Costante di Gelfond
Simbolo
Valore 23,1406926327792690057290...
(sequenza A039661 dell'OEIS)
Origine del nome Aleksandr Gelfond
Frazione continua [23; 7, 9, 3, 1, 1, 591, 2, 9, 1, ...]
(sequenza A058287 dell'OEIS)
Insieme numeri trascendenti
Costanti correlate Pi greco, e

La costante di Gelfond è un numero trascendente definito come e elevato alla π,

Prende il nome dal matematico Aleksander Gelfond, che nel 1934 ne provò la trascendenza come conseguenza del suo teorema di Gelfond.

La sua espansione in frazione continua è

Dimostrazione della trascendenza[modifica | modifica wikitesto]

Dalla formula di Eulero possiamo ricavare che:

Elevando entrambi i membri alla i, avremo, ricordando che :

cioè

i e -2i sono entrambi numeri algebrici non razionali, e quindi per il teorema di Gelfond non può essere algebrico.

Calcolo[modifica | modifica wikitesto]

Il valore della costante di Gelfond può essere calcolato rapidamente usando la seguente sequenza:

L'espressione

converge allora rapidamente ad

Proprietà geometriche[modifica | modifica wikitesto]

Il volume di una sfera di dimensione n (un'ipersfera) è dato da

dove è la funzione gamma. Di conseguenza, se consideriamo solo le ipersfere di raggio unitario e dimensione pari, abbiamo che:

ricordando che per n intero. Di conseguenza, sommando questi valori, si ha

perché il secondo membro è l'espansione in serie di Taylor dell'esponenziale.

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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