Costante di Catalan

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Costante di Catalan
Simbolo K
Valore 0,9159655941772190150546...
(sequenza A006752 dell'OEIS)
Origine del nome Eugène Charles Catalan
Frazione continua [0; 1, 10, 1, 8, 1, 88, 4, 1, 1, 7, ...]
(sequenza A014538 dell'OEIS)
Campo numeri reali

In matematica, la costante di Catalan appare occasionalmente nelle stime in combinatorica ed è definita come

\Kappa = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + ...,

dove β è la funzione beta di Dirichlet. Il suo valore numerico approssimato è

K = 0.915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 ...

Non è noto se K sia un numero razionale o irrazionale.

Identità integrali[modifica | modifica wikitesto]

Alcune identità sono:

 K = \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1+x^2 y^2} \,dx\, dy
 K = -\int_{0}^{1} \frac{\ln t}{1 + t^2} \mbox{ d} t
 K = \int_{0}^{\pi/4} \frac{t}{\sin t \cos t} \;dt
 K = \frac{1}{4} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{t}{\sin t} \;dt
 K = \int_{0}^{\pi/4} \ln ( \cot(t)) \,dt
 K = \int_{0}^{\infty} \arctan (e^{-t}) \,dt
 K = \int_0^1 \frac{\arctan t}{t}dt
 K = \frac{1}{2}\int_0^1 \mathrm{K}(t)\,dt

dove K(t) è un integrale ellittico completo della prima specie.

Utilità[modifica | modifica wikitesto]

K appare in combinatorica e come valore della seconda funzione poligamma, detta anche funzione trigamma, per argomenti frazionari:

 \psi_{1}\left(\frac{1}{4}\right) = \pi^2 + 8K
 \psi_{1}\left(\frac{3}{4}\right) = \pi^2 - 8K

Simon Plouffe ha fornito un insieme infinito di identità tra la funzione trigamma, \pi^2 e la costante di Catalan; queste identità sono esprimibili come percorsi su un grafo.

Appare inoltre in riferimento alla distribuzione secante iperbolica.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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