Costante di Bernstein

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Costante di Bernstein
Simbolo β
Valore 0,280169499…
(sequenza A073001 dell'OEIS)
Origine del nome Sergei Natanovich Bernstein
Insieme numeri irrazionali
\cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{9+ \ddots}}}}}
Frazione continua della costante di Bernstein

La costante di Bernstein, solitamente indicata con la lettera greca β, è una costante matematica chiamata così in onore di Sergei Natanovich Bernstein ed è approssimativamente uguale a 0,2801694990.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Sia En(ƒ) l'errore della migliore approssimazione uniforme di una funzione reale ƒ(x) nell'intervallo [−1, 1], costituita di polinomi reali di grado non più elevato di n. Nel caso di ƒ(x) = |x|, Bernstein, nel 1914,[1] dimostrò che il limite

\beta=\lim_{n \to \infty}2nE_{2n}(f),\,

chiamato "costante di Bernstein", esiste, ed è compreso fra 0.278 and 0.286.

Tuttavia, la sua congettura secondo la quale il limite fosse uguale a

\frac {1}{2\sqrt {\pi}}=0.28209\dots\,

venne confutata dai matematici Varga e Carpenter nel 1987,[2] i quali calcolarono

\beta=0.280169499023\dots\,.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Bernstein, op. cit.
  2. ^ Varga, Carpenter, op. cit.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • S. N. Bernstein, Sur la meilleure approximation de x par des polynomes de degrés donnés, vol. 37, Acta Math., 1914, pp. 1–57. DOI:10.1007/BF02401828.
  • Richard S. Varga, Amos J. Carpenter, A conjecture of S. Bernstein in approximation theory, vol. 57, Math. USSR Sbornik, 1987, pp. 547–560. DOI:10.1070/SM1987v057n02ABEH003086. MR: 0842399.

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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