Copula (statistica)

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Grafico dei limiti copula di Fréchet-Hoeffding

In statistica, una copula si usa come metodo generale di formulazione per una distribuzione multivariata in modo tale che varie tipologie di dipendenze possano essere rappresentate. Tale approccio si basa sull'idea che una semplice trasformazione su ogni variabile marginale si possa applicare in modo tale che ogni variabile marginale trasformata possegga una distribuzione uniforme.

Il teorema di Sklar afferma che ogni copula è una funzione di distribuzione congiunta, avente come argomenti le distribuzioni marginali. Inoltre vale anche il contrario: ogni distribuzione congiunta ha una copula, e, se le marginali sono continue, essa è unica.

Teorema di Sklar[modifica | modifica wikitesto]

Sia (X1,X2,...Xd) un vettore aleatorio con funzione di distribuzione congiunta avente marginali F1,…,Fd. Allora esiste una funzione C:[0,1]d →[0,1], chiamata d-copula, tale che , F(x1,x2,...xd)=C(F(x1),F(x2),...,F(xd)).

Pertanto è una funzione di distribuzione congiunta con marginali F1(x1),…,Fd(xd). Viceversa, denotando con H la funzione di distribuzione congiunta d-dimensionale, avente marginali continue F1(x1),…,Fd(xd), esiste una e una sola copula C tale che H(x)=C(F1(x1),...,Fd(xd)).

Questo teorema prova che si possono costruire delle funzioni multivariate, con marginali di qualsiasi tipo, purché siano continue. In questo modo possiamo costruire infiniti modelli parametrici, scegliendo solamente le marginali e la copula da utilizzare.

Inoltre, è possibile definire l'inversa generalizzata F-1 di una distribuzione univariata F. Se le marginali F1,…,Fd sono continue, allora il teorema di Sklar può essere riscritto per mezzo delle loro funzioni inverse come: C(u1,u2,...ud)=H(F-11(u1),...,F-1d(ud)).

Abbiamo quindi la possibilità di scrivere la probabilità congiunta in funzione delle sue marginali, caratteristica che permette alle copule di soddisfare due proprietà molto utili: la copula prodotto e l'invarianza rispetto a trasformazioni strettamente monotone.

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