Convergenza in misura

In analisi matematica, la convergenza in misura (detta anche convergenza in probabilità) è un tipo di convergenza di successioni di funzioni, che esprime il fatto che l'insieme su cui la successione è lontana dalla funzione limite tende a diventare sempre più piccolo. Formalmente, una successione {f_n} di funzioni da uno spazio di misura $(X,\Sigma ,\mu )$ ad $\mathbb {R}$ converge in misura ad f se, per ogni ε,

$\lim _{n\to \infty }\mu (\{x:|f_{n}(x)-f(x)|>\varepsilon \})=0\;$

Una successione f_n può convergere in misura a due distinte funzioni f e g, ma in tal caso f e g sono uguali quasi ovunque; in effetti, se f_n converge in misura ad f, converge in misura anche a tutte le g tali che f e g sono uguali quasi ovunque.

Su insiemi di misura finita, la convergenza in misura è piuttosto debole: è infatti implicata sia dalla convergenza puntuale quasi ovunque che dalla convergenza in norma L^p, ma non implica né l'una né l'altra; tuttavia, se {f_n} converge in misura ad f, allora esiste una sottosuccessione {f_nk} che converge quasi ovunque ad f. Nel caso di insiemi di misura infinita, la convergenza L^p implica ancora la convergenza in misura, mentre la convergenza puntuale no; un esempio è la successione formata dalle funzioni indicatrici degli intervalli [n,n + 1].

Nella teoria della probabilità, la convergenza in misura (detta qui convergenza in probabilità) è la tesi della legge debole dei grandi numeri.

Bibliografia

• Richard L. Wheeden e Antoni Zygmund, Measure and Integral. An Introduction to Real Analysis, Boca Raton, CRC Press, 1977, ISBN 0-8247-6499-4.
• Vladimir I. Bogachev, Measure Theory, Springer, 2006, ISBN 978-3-540-34513-8.