Congettura di Marshall Hall

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In matematica, la congettura di Marshall Hall è un problema aperto di teoria dei numeri sulla differenza tra quadrati perfetti e cubi perfetti. Essa afferma che se e non sono uguali, allora la loro distanza deve essere superiore a una costante dipendente da . Questa congettura, che prende il nome dal matematico Marshall Hall, Jr., deriva da alcune considerazioni sui punti interi della curva di Mordell, nella teoria delle curve ellittiche.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

La versione originale della congettura, formulata da Marshall Hall nel 1970, afferma che esista una costante C tale che, per ogni coppia di interi x e y tali per cui y2x3, vale che

Forma debole[modifica | modifica wikitesto]

Una versione debole della congettura, dovuta a Stark e Trotter intorno al 1980, rimpiazza la radice quadrata a destra della disuguaglianza con un qualsiasi esponente minore di 1/2. In altre parole, afferma che per ogni ε > 0 esiste una costante C(ε) dipendente da ε tale che, per ogni coppia di interi x e y tali per cui y2x3, vale che

Progressi[modifica | modifica wikitesto]

  • Originariamente lo stesso Hall pensava che la costante potesse essere presa circa come 1/5. Ma nel 1998 Elkies trovò il controesempio:
per il quale C sarebbe circa 1/50, ovvero un decimo di quanto proposto da Hall.
  • Nel 1982 Danilov ha dimostrato che la congettura è falsa se si sostituisce la radice quadrata con qualsiasi esponente maggiore di 1/2.
  • Nel 1965 Davenport aveva dimostrato un risultato analogo nel caso dei polinomi: se f(t) e g(t) sono polinomi non nulli in C tali che g(t)3f(t)2 in C[t], allora

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Wolfgang M. Schmidt, Diophantine approximations and Diophantine equations, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1467, 2nd, Springer-Verlag, 1996, pp. 205–206, ISBN 3-540-54058-X, Zbl 0754.11020.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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