Confronto tra metodo delle secanti e metodo delle tangenti

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Jump to navigation Jump to search

In matematica e più specificamente in analisi numerica, il metodo delle secanti e il metodo delle tangenti sono metodi largamente utilizzati per il calcolo approssimato di una soluzione di un'equazione della forma .

Il metodo delle secanti è un semplice metodo convergente, ma generalmente è molto lento, richiede molti passi per raggiungere una precisione accettabile, mentre il metodo delle tangenti è più veloce (fornisce buoni risultati in pochi passi).

Se , quindi se è decrescente e concava (fig. 1) oppure se è crescente e convessa.

Il metodo delle tangenti costruisce una successione decrescente che approssima per eccesso la radice.

Il metodo delle secanti costruisce una successione crescente che approssima per difetto la radice.

Se quindi se è crescente e concava (fig. 3) oppure è decrescente e convessa.

Il metodo delle tangenti costruisce una successione crescente che approssima per difetto la radice.

Il metodo delle secanti costruisce una successione decrescente che approssima per eccesso la radice.

Quindi usati insieme, i due metodi, forniscono approssimazioni per eccesso e per difetto dell'unica radice dell'equazione .

È possibile perciò, ove la funzione verifichi le ipotesi, utilizzare contemporaneamente i due metodi, iterando l'applicazione di essi finché i valori approssimati per eccesso e per difetto distino meno della precisione ε scelta.

Primo esempio[modifica | modifica wikitesto]

Esempio 1: determinare le radici di a meno di .

La funzione è definita e continua in , inoltre, poiché e la curva incontra l'asse delle in almeno un punto.

Dallo studio delle derivate prima e seconda e si ricava che la funzione ha un massimo relativo in , un minimo relativo in e un flesso a tangente obliqua in e quindi la curva interseca l'asse delle in un solo punto. Inoltre e ; perciò . Sono soddisfatte le condizioni richieste per potere usare i metodi delle tangenti e delle secanti.

Applicando il metodo delle tangenti, essendo crescente e convessa nell'intervallo si trovano valori approssimati per eccesso. Si traccia la tangente in , in quanto è in esso che la funzione e la derivata seconda sono concordi. Utilizzando la seguente relazione di ricorrenza si ottiene

poiché risulta , iterando ulteriormente si ottiene

da cui e quindi è la radice approssimata per eccesso a meno dopo 4 iterazioni.

Applicando il metodo delle secanti, essendo e i punti dell'intervallo per cui passa la prima secante, dalla formula

si ricavano i seguenti valori approssimati per difetto:

la seconda secante passa per i punti e essendo da cui

dopo 6 iterazioni, essendo , è la radice approssimata per difetto a meno . Confrontando i valori ottenuti con i due metodi, si osserva che il valore è esatto alla quarta cifra decimale.

Secondo esempio[modifica | modifica wikitesto]

Esempio 2: determinare le radici di a meno di

Sia . Si scrive l'equazione nella forma e si considerano le funzioni di equazioni e .

Dalla rappresentazione grafica in uno stesso sistema di riferimento cartesiano delle due funzioni, si ricava che le due curve si intersecano nel solo punto , pertanto l'equazione ammette una sola radice, che è l'ascissa del punto ed essendo e , tale radice appartiene all'intervallo . Dallo studio delle derivate prima e seconda, la funzione è decrescente e convessa nell'intervallo ; quindi utilizzando il metodo delle tangenti, partendo dall'estremo in cui la funzione e la derivata seconda sono concordi si ricavano le seguenti approssimazioni per difetto

poiché risulta si ottiene che il valore approssimato per difetto della radice a meno di è dopo 3 iterazioni.

Applicando il metodo delle secanti essendo e i punti dell'intervallo per cui passa la prima secante, si ottengono i seguenti valori approssimati per eccesso: .

La seconda secante passa per i punti e essendo da cui

 ;

essendo , è la radice approssimata per eccesso a meno di dopo 4 iterazioni; questo valore coincide con quello trovato con il metodo delle tangenti, ma con un maggior numero di iterazioni.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica