Cardinale inaccessibile

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In teoria degli insiemi, un numero cardinale si dice inaccessibile se:

  • non è un cardinale successore (ovvero non è un ordinale successore)
  • è regolare, ovvero data una famiglia di cardinali , si ha:

Questi requisiti sono soddisfatti da : l'unione di finiti insiemi finiti è sempre un insieme finito, così come l'insieme potenza di un insieme finito è sempre finito.

Però oltre non si conosce nessun cardinale che soddisfi questi requisiti. Anzi, si può dire di più.

Si può infatti dimostrare che se esistesse un qualsiasi cardinale inaccessibile maggiore di , allora sarebbe un buon modello per la ZF, dove è l'-esimo elemento della gerarchia di Von Neumann; dimostrare che un tale cardinale inaccessibile esiste equivarrebbe a dimostrare che esiste un modello per la ZF, ovvero a dimostrare la coerenza di ZF.

D'altronde, il secondo teorema di incompletezza di Gödel stabilisce che la coerenza di ZF non può essere dimostrata all'interno della ZF stessa; da ciò deriva che l'esistenza di un cardinale inaccessibile maggiore di non è decidibile all'interno della ZF (su cui si basa la costruzione formale di tutta la matematica moderna).

Riassumendo in formule:

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