Blum Blum Shub

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L'algoritmo Blum Blum Shub (BBS) è un generatore di numeri pseudo-casuali crittograficamente sicuro proposto nel 1986 da Lenore Blum, Manuel Blum e Michael Shub[1].

L'algoritmo è il seguente[2]:

  1. Si generino due numeri primi casuali segreti p e q di molti bit, entrambi congruenti a 3 modulo 4 (cioè divisi per 4 danno resto 3) e si calcoli n =p·q
  2. Si generi un numero casuale s (detto seme) appartenente all'intervallo [1, n-1] e coprimo rispetto a n. Si calcoli x0s2 mod n
  3. Per i che va da 1 a l (con l pari al numero di bit casuali che si vogliono generare) si eseguano i seguenti passi:
    1. xixi -12 mod n
    2. zibit meno significativo di xi
  4. Il risultato dell'algoritmo è la sequenza di bit z1, z2, ..., zl,

Il fatto che p e q siano congruenti a 3 modulo 4 garantisce che il MCD(φ(p -1), φ(q -1)) sia piccolo (il che rende più lungo il ciclo per cui xi torna ad essere uguale a x0).

Sicurezza[modifica | modifica wikitesto]

Questo algoritmo non è adatto alle simulazioni, ma solo alla crittografia a causa della sua lentezza. Ha però una dimostrazione della sua sicurezza legata alla difficoltà computazionale della fattorizzazione di grandi numeri interi. Quando i numeri p e q sono scelti appropriatamente, e O(log2(log2 n)) bit di ogni xi sono emessi in output, allora al crescere di n distinguere i bit di output dai bit generati da una fonte realmente casuale è difficile almeno quanto fattorizzare n.

Nonostante le sue proprietà teoriche dimostrabili matematicamente BBS è difficilmente usato in contesti pratici. Infatti le sue garanzie di sicurezza sono valide solo quando il modulo n è molto grande. Ad esempio, supponendo di voler generare 220 bit e voler proteggersi da un attaccante che eseguirà 2100 istruzioni è necessario che il modulo n sia di almeno 6800 bit, molto più grande di altri algoritmi crittografici che forniscono simili garanzie di sicurezza[3]. In modo simile, se si utilizza un modulo n di 768 bit e si estraggono 9.58 bit per ogni iterazione e si generano 109 bit, è possibile dimostrare che si ha una garanzia che un possibile attaccante abbia al più il 1% di probabilità di predire l'output di BBS solo se l'attaccante compie 2-264 istruzioni (notare l'esponente negativo)[4]. In altre parole, le garanzie teoriche di BBS non necessariamente si traducono in vantaggi nelle applicazioni pratiche.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Lenore Blum, Manuel Blum, and Michael Shub, "A Simple Unpredictable Pseudo-Random Number Generator", SIAM Journal on Computing, volume 15, pagg. 364–383, maggio 1986
  2. ^ A. Menezes, P. van Oorschot, and S. Vanstone, "Handbook of Applied Cryptography", CRC Press, pagg. 186–187, 1996.
  3. ^ A. Sidorenko and B. Schoenmakers, "Concrete Security of the Blum-Blum-Shub Pseudorandom Generator", Cryptography and Coding, 2005
  4. ^ N. Koblitz and A. Menezes "Another look at «provable security». II", Progress in Cryptology - Indocrypt 2006, Lecture Notes in Computer Science, 4329 (2006), 148-175.