Algebra simmetrica

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In matematica, l'algebra simmetrica su uno spazio vettoriale V su un campo K è una particolare K-algebra commutativa; può essere vista come una rappresentazione dell'anello dei polinomi in K, con indeterminate corrispondenti agli elementi della base di V, senza una scelta delle coordinate.

È denotata con o .

Costruzione[modifica | modifica wikitesto]

L'algebra simmetrica può essere definita a partire dall'algebra tensoriale , "forzando" gli elementi di ad essere commutativi in : più precisamente, può essere definita come l'anello quoziente di rispetto all'ideale generato dagli elementi

,

al variare di e in .

L'applicazione può essere estesa ad un funtore tra la categoria dei -spazi vettoriali e quella delle -algebre.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Struttura graduata[modifica | modifica wikitesto]

L'algebra simmetrica può essere vista come un'algebra graduata: l'insieme degli elementi omogenei di grado k è lo spazio vettoriale generato dai monomi di grado k negli elementi di ; alternativamente, può essere visto come il quoziente di rispetto all'ideale , dove è l'ideale generato in dagli elementi .

Lo spazio è chiamato la potenza simmetrica k-esima di ; la sua dimensione è pari a

,

dove n è la dimensione di su . Così come , anche ogni applicazione può essere estesa ad un funtore.

Ad esempio, è sempre isomorfo a , mentre è sempre isomorfo a .

Anello dei polinomi[modifica | modifica wikitesto]

Se è una base di , allora si può definire un isomorfismo di algebre tra e l'anello dei polinomi in n indeterminate, mandando in .

In particolare, questo mostra come l'anello dei polinomi possa essere pensato come un'algebra simmetrica su cui è stato scelto un sistema di coordinate (la base ) e, viceversa, possa essere pensato come una versione senza coordinate di .

Da questo segue anche che l'anello dei polinomi è isomorfo in modo canonico all'algebra simmetrica del duale di .

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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