Teorema di Ceva: differenze tra le versioni
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:<math>\frac{\triangle AOC}{\triangle OBC}= \frac{AF}{FB}.</math> |
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Ragionando in modo analogo per i lati <math>BC</math> e <math>CA</math> scriveremo anche le proporzioni: |
Ragionando in modo analogo per i lati <math>BC</math> e <math>CA</math> scriveremo anche le proporzioni: |
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:<math>\frac{\triangle BOA}{\triangle AOC}= \frac{BD}{DC} \text{ e } \frac{\triangle |
:<math>\frac{\triangle BOA}{\triangle AOC}= \frac{BD}{DC} \text{ e } \frac{\triangle CEO}{\triangle EAO}= \frac{CE}{EA}</math>. |
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Possiamo utilizzare quanto dimostrato fin ora per riscrivere la [[formula]] iniziale: |
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Versione delle 18:41, 14 ott 2019
Il teorema di Ceva è un noto teorema in geometria elementare. Deve il suo nome a Giovanni Ceva, che ne diede dimostrazione nella sua opera De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio del 1678, anche se il primo a dimostrarlo fu Yusuf al-Mu'tamin ibn Hud, attorno all'XI secolo. Si definisce ceviana una retta che congiunge un vertice con un punto del lato opposto di un triangolo. Il teorema fornisce una condizione necessaria e sufficiente affinché tre ceviane si incontrino in uno stesso punto.
Enunciato
Siano A, B, C i vertici di un triangolo; li si congiungano con un punto O del piano e si indichino con D, E, F le intersezioni con i lati del triangolo.
Si ha la seguente relazione:
Dimostrazione
Si considerino i triangoli e . Si può notare che hanno in comune un'altezza relativa ai due segmenti e , basi rispettivamente del primo e del secondo triangolo. Da questo, tenendo conto della formula , per l'area di un triangolo, si deduce che il rapporto tra le aree dei due triangoli è uguale al rapporto tra le rispettive basi:
- .
Similmente si può dimostrare che vale anche:
e di conseguenza, per la proprietà transitiva dell'uguaglianza si giunge a:
Facendo riferimento alla figura, e tenendo conto della proprietà delle proporzioni:
possiamo infine scrivere che:
Ragionando in modo analogo per i lati e scriveremo anche le proporzioni:
- .
Possiamo utilizzare quanto dimostrato fin ora per riscrivere la formula iniziale:
Come volevasi dimostrare, tale espressione è uguale a in quanto ogni termine compare una volta a numeratore ed una a denominatore.
Forma trigonometrica
La formula del teorema può essere scritta in una forma trigonometrica equivalente:
Una possibile dimostrazione di ciò avviene attraverso il teorema dei seni.
Voci correlate
Altri progetti
- Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su teorema di Ceva
Collegamenti esterni
- Dimostrazione e conseguenze del teorema, su lorenzoroi.net.