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DescrizioneKleinBottle-Figure8-01.png	Figure-eight immersion of a Klein bottle into R3. Made with Mathematica. English: The "figure 8" immersion of the Klein bottle. Italiano: L'immersione a "figura 8" della bottiglia di Klein. Русский: Реализация бутылки Клейна в виде восьмерки
Data	05/08/06
Fonte	Own drawing, Mathematica 5.1
Autore	Fropuff, Inductiveload
Licenza (Riusare questo file)	The original image was released into the public domain by Fropuff: Public domainPublic domainfalsefalse Quest'opera è stata rilasciata nel pubblico dominio dal suo autore, Fropuff. Questa norma si applica in tutto il mondo. In alcuni paesi questo potrebbe non essere legalmente possibile. In tal caso: Fropuff garantisce a chiunque il diritto di utilizzare quest'opera per qualsiasi scopo, senza alcuna condizione, a meno che tali condizioni siano richieste dalla legge. The derived, redrawn, edited image was released into the public domain by Inductiveload: Public domainPublic domainfalsefalse Quest'opera è stata rilasciata nel pubblico dominio dal suo autore, Inductiveload. Questa norma si applica in tutto il mondo. In alcuni paesi questo potrebbe non essere legalmente possibile. In tal caso: Inductiveload garantisce a chiunque il diritto di utilizzare quest'opera per qualsiasi scopo, senza alcuna condizione, a meno che tali condizioni siano richieste dalla legge.
Altre versioni	For a cut-away version see Image:KleinBottle-Figure8-02.png.

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Parameterization

This immersion of the Klein bottle into R³ is given by the following parameterization. Here the parameters u and v run from 0 to 2π and r is some fixed positive constant.

${\displaystyle x=\left(r+\cos {\frac {u}{2}}\sin v-\sin {\frac {u}{2}}\sin 2v\right)\cos u}$

${\displaystyle y=\left(r+\cos {\frac {u}{2}}\sin v-\sin {\frac {u}{2}}\sin 2v\right)\sin u}$

${\displaystyle z=\sin {\frac {u}{2}}\sin v+\cos {\frac {u}{2}}\sin 2v}$

Mathematica source

Klein8[r_:2] =
 Function[{u, v},
   {
       (r + Cos[u/2]Sin[v] - Sin[u/2]Sin[2v]) Cos[u],
       (r + Cos[u/2]Sin[v] - Sin[u/2]Sin[2v]) Sin[u],
       Sin[u/2]Sin[v] + Cos[u/2]Sin[2v]
   }
 ]

 ParametricPlot3D[Evaluate[Klein8[][u, v]], {u, 0, 2Pi}, {v, 0, 2Pi},
   PlotPoints -> 60, Boxed -> False, Axes -> False, ImageSize -> 800]

This image was then antialised with Chris Hill's code, made transparent around the surface and had stray pixels removed in an image editor.