Limite (matematica)

In matematica, il concetto di limite serve a descrivere l'andamento di una funzione all'avvicinarsi del suo argomento a un dato valore (limite di una funzione) oppure l'andamento di una successione al crescere illimitato dell'indice (limite di una successione). I limiti si utilizzano in tutti i rami dell'analisi matematica; sono usati ad esempio per definire la continuità, la derivazione e l'integrazione. Il concetto di limite di una funzione, più generale del limite di una successione, può essere generalizzato da quello di limite di un filtro.

Storia

Il concetto di limite era già presente in modo intuitivo nell'antichità, per esempio in Archimede (nel suo metodo di esaustione), e fu utilizzato, anche se non in modo rigoroso, a partire dalla fine del XVII secolo da Newton, Leibniz, Eulero e D'Alembert.

La prima definizione abbastanza rigorosa di limite risale al XIX secolo con Cauchy, seguita da una miglior formalizzazione di Weierstrass.

Una completa teoria del limite si ha con Heine, che nel 1872 pubblicò un lavoro che creò molto interesse all'epoca e nel quale stilò regole e proprietà del limite. Molti altri studiosi si sono interessati al problema del limite, approfondendo l'argomento con lo studio dell'analisi infinitesimale, tra cui Bolzano, Dedekind e Cantor.

Ma solo nel 1922 Eliakim Hastings Moore ed H.L. Smith diedero una nozione generale (topologica) di limite, ed è quella attualmente utilizzata in matematica. Nel 1937, Henri Cartan ne fornì una versione equivalente, basata sul concetto di filtro.

Limite di una successione

Una successione $\{a_{n}\}$ di numeri reali ha come limite il numero $a$ se al crescere di $n$ i termini della successione "sono arbitrariamente vicini" al valore $a$. Formalmente, questa nozione è resa chiedendo che per ogni $\varepsilon >0$ piccolo a piacere esista un numero naturale $N$ tale che $|a_{n}-a|<\varepsilon$ per ogni $n>N$.

Una successione può non avere limite, ad esempio $a_{n}=(-1)^{n}$, data da:

$1,-1,1,-1,1,-1,\ldots$

non ha limite. D'altra parte, se esiste un limite $a$, si dice che la successione converge ad $a$; in questo caso, il limite è unico (una successione non può convergere a due valori distinti). Ad esempio, la successione $a_{n}=1/n$, data da:

$1,1/2,1/3,1/4,\ldots$

converge a zero.

Considerando uno spazio topologico $X$, una successione $x_{n}$ con $n\in \mathbb {N}$ tende al limite $a\in X$ se, comunque si prenda un intorno $B$ di $a$, esiste un $N$ tale per cui $x_{n}\in B$ per tutti gli $n>N$, e si scrive:

$\lim _{n\to +\infty }x_{n}=a$

Se $X$ è uno spazio di Hausdorff il limite di $x_{n}$ con $n\in \mathbb {N}$, se esiste, è unico.

Limite di una funzione

Il limite di una funzione generalizza il limite di una successione di punti in uno spazio topologico $Y$; si considera la successione una funzione $f:\mathbb {N} \to Y$ nello spazio topologico $\mathbb {N} \cup \lbrace +\infty \rbrace$ con la topologia discreta. In tale definizione, un intorno di $+\infty$ ha la forma $\lbrace n:n\geq n_{0}\rbrace \cup \lbrace +\infty \rbrace$.

Siano dati una funzione $f:X\rightarrow \mathbb {R}$ definita su un sottoinsieme $X$ della retta reale $\mathbb {R}$ ed un punto di accumulazione $x_{0}$ di $X$. Un numero reale $l$ è il limite di $f(x)$ per $x$ tendente a $x_{0}$ se la distanza fra $f(x)$ ed $l$ è arbitrariamente piccola quando $x$ si avvicina a $x_{0}$.

La distanza fra i punti è misurata usando il valore assoluto della differenza: quindi $|x-x_{0}|$ è la distanza fra $x$ e $x_{0}$ e $|f(x)-l|$ è la distanza fra $f(x)$ ed $l$. Il concetto di "arbitrariamente piccolo" è espresso formalmente con i quantificatori "per ogni" (quantificatore universale) ed "esiste" (quantificatore esistenziale).

Formalmente, $l$ è limite se per ogni numero reale $\varepsilon >0$ piccolo a piacere esiste un altro numero reale positivo $\delta$ tale che:

$|f(x)-l|<\varepsilon$ per ogni $x$ in $X$ con $0<|x-x_{0}|<\delta$.

In questo caso si scrive:

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l$

La definizione di limite di una funzione è comoda per formalizzare il concetto di funzione continua.

Limite di un ultrafiltro

Dato uno spazio topologico $(X,T)$, un punto $x\in X$ è il limite di un ultrafiltro $U$ su $X$ se ogni intorno di $x$ appartiene a $U$.

Il limite di una funzione rispetto ad un filtro è definito considerando una funzione $f:B\subset X\to Y$ tra spazi topologici e un filtro $U$ su $B$. Il punto $y\in Y$ è il limite di $f$ in $x\in X$ rispetto ad $U$ se $x$ è il limite di $U$ e $y$ è il limite di $f(U)$. Si scrive in tal caso:

$\lim _{U}f(x)=y$

Limite insiemistico

Il concetto di limite si estende anche alle successioni di insiemi attraverso le nozioni di limite superiore e limite inferiore: data una successione di insiemi $\{A_{n}\}_{n}$, l'insieme limite è definito come l'insieme che intuitivamente contiene gli elementi che stanno nel maggior numero di insiemi della successione. Formalmente, una successione di insiemi si dice possedere limite se vale la seguente uguaglianza:

${\bigcap _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcup _{m=n}^{\infty }}A_{m}\right)={\bigcup _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcap _{m=n}^{\infty }}A_{m}\right)=:\lim _{n\to \infty }A_{n}$

Bibliografia

• Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Analisi Matematica Uno, Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-2819-2, 1998.
• Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Lezioni di analisi matematica due, Zanichelli Editore, Bologna, ISBN 978-88-08-52020-3, 2020.
• (EN) Moore E.H., Smith H.L., "A General Theory of Limits". American Journal of Mathematics 44 (2), 102–121 (1922).
• (EN) Miller, N. Limits: An Introductory Treatment. Waltham, MA: Blaisdell, 1964.
• (EN) Gruntz, D. On Computing Limits in a Symbolic Manipulation System. Doctoral thesis. Zürich: Swiss Federal Institute of Technology, 1996.
• (EN) Hight, D. W. A Concept of Limits. New York: Prentice-Hall, 1966.
• (EN) Kaplan, W. "Limits and Continuity." §2.4 in Advanced Calculus, 4th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 82–86, 1992.

Voci correlate

• Convergenza
• Forma indeterminata
• Limite di una funzione
• Limite di una successione
• Limite insiemistico
• Limite notevole
• Limite superiore e limite inferiore
• Regola di De L'Hôpital
• Stima asintotica

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• limite, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• (EN) limit, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Limite, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) L.D. Kudryavtsev, Limit, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.