Zero insieme

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In matematica, uno zero insieme di una funzione è l'insieme formato dai punti in cui la funzione assume valore nullo. Più precisamente, data una funzione f: X \rightarrow G, dove G è un gruppo additivo, lo zero insieme di f è la controimmagine dell'elemento neutro:

Z(f) = f^{-1}(0) \subseteq X.

I punti dello zero insieme corrispondono alle radici dell'equazione f(x) = 0; l'insieme complementare di uno zero insieme è detto cozero insieme, e corrisponde ai punti in cui la funzione assume valore non nullo. Gli zero insiemi sono utilizzati in molti settori della geometria e della topologia; a seconda dell'ambito di applicazione, vengono considerati in relazione a diversi tipi di funzione.

Topologia[modifica | modifica sorgente]

In topologia vengono considerati gli zero insiemi delle funzioni continue, che possiedono alcune importanti caratteristiche: in particolare, gli zero insiemi sono sempre insiemi chiusi, mentre in generale non vale il viceversa; tramite gli zero insiemi è possibile caratterizzare i seguenti assiomi di separazione:

  • uno spazio topologico X è completamente regolare se e solo se ogni suo insieme chiuso è l'intersezione di una famiglia di zero insiemi ovvero se e solo se i cozero insiemi formano una base di X;
  • uno spazio topologico X è completamente normale se e solo se ogni insieme chiuso è uno zero insieme, ovvero se e solo se ogni insieme aperto è un cozero insieme.

Geometria differenziale[modifica | modifica sorgente]

In geometria differenziale si considerano gli zero insiemi di funzioni lisce f: \mathbb{R}^p \rightarrow \mathbb{R}^n; se zero non è un punto critico della funzione, allora lo zero insieme di f definisce una varietà di dimensione n - p.

Geometria algebrica[modifica | modifica sorgente]

In geometria algebrica, lo zero insieme di una famiglia di polinomi è una varietà affine, mentre la proiettivizzazione degli zero insiemi di una famiglia di polinomi omogenei è una varietà proiettiva.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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