Wavelet Haar

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La wavelet Haar è stata la prima wavelet ad essere proposta nel 1909 da Alfréd Haar[1].Haar usò queste funzioni per dare un esempio di un sistema ortonormale numerabile per lo spazio delle funzioni L2 sulla retta reale.

La wavelet Haar è anche la wavelet più semplice. Lo svantaggio della wavelet di Haar è che non è una funzione continua e quindi non è derivabile.

La wavelet Haar

La wavelet madre di Haar è la funzione

\psi(t) = \begin{cases}1 \quad & 0 \leq  t < 1/2,\\
 -1 & 1/2 \leq t < 1,\\0 &\mbox{altrimenti.}\end{cases}

e la sua funzione padre

\phi(t) = \begin{cases}1 \quad & 0 \leq  t < 1,\\0 &\mbox{altrimenti.}\end{cases}


Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

La wavelet di Haar ha diverse proprietà:

  • Ogni funzione può essere approssimata da una combinazione lineare \phi(t),\phi(2t),\phi(4t),\dots,\phi(2^k t),\dots e le loro traslazioni.
  • Ogni funzione può essere approssimata dalle funzioni costanti \psi(t),\psi(2t),\psi(4t),\dots,\psi(2^k t),\dots e le loro traslazioni.
  • Ortonormalità
 \int_{-\infty}^{\infty}2^m\psi(2^{m_1}t-n_1)\psi(2^mt-n)\, dt=\delta(m-m_1)\delta(n-n_1)

La funzione duale di  \psi(t) è  \psi(t) stessa.

  • Relazione madre/padre con diversa scala m:
 \psi(t)=\psi(2t)+\psi(2t-1)
 \phi(t)=\psi(2t)-\psi(2t-1)
  • I coefficienti di scala m possono essere calcolati dai coefficienti di scala m+1

Se  \chi_w(n,m)=2^{m/2}\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\phi(2^mt-n)\, dt


 \chi_w(n,m)=\sqrt{\frac{1}{2}}(\chi_w(2n,m+1)+\chi_w(2n+1,m+1))
 \Chi_w(n,m)=2^{m/2}\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\psi(2^mt-n)\, dt
 \Chi_w(n,m)=\sqrt{\frac{1}{2}}(\chi_w(2n,m+1)-\chi_w(2n+1,m+1))

Matrice di Haar[modifica | modifica wikitesto]

La matrice di Haar 2×2 associata con la wavelet è

 H_2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}.

Usando la trasformata wavelet discreta si può trasformare ogni sequenza (a_0,a_1,\dots,a_{2n},a_{2n+1}) di lunghezza pari in una sequanza di vettori a due componenti  \left(\left(a_0,a_1\right),\dots,\left(a_{2n},a_{2n+1}\right)\right) . Se si moltiplica ogni vettore con la matrice  H_2 si ottiene il risultato \left(\left(s_0,d_0\right),\dots,\left(s_n,d_n\right)\right),

Se si hanno sequenze di lunghezza multiplo di quattro si possono costruire blocchi di 4 elementi e trasformali in maniera simile con una matrice di Haar 4×4

 H_4 = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix},

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Alfréd Haar, Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme. (Erste Mitteilung). in Mathematische Annalen, vol. 69, nº 3, pp. 331-371, DOI:10.1007/BF01456326. URL consultato il 29-9-2008.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Charles K. Chui, An Introduction to Wavelets, (1992), Academic Press, San Diego, ISBN 0585470901

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]