Campo vettoriale di Killing

In matematica, un campo vettoriale di Killing è un campo vettoriale su una varietà riemanniana (o pseudo-riemanniana) che preserva la metrica. I campi di Killing sono i generatori infinitesimali delle isometrie.

I vettori di Killing sono chiamati così in onore di Wilhelm Killing.

Definizione

Un campo vettoriale X si dice campo di Killing se la derivata di Lie della metrica g lungo X è nulla:

${\mathcal {L}}_{X}\,g=0\,.$

In termini della connessione di Levi-Civita questa equazione si scrive come:

$g\left(\nabla _{Y}X,Z\right)+g\left(Y,\nabla _{Z}X\right)=0\,$

per ogni vettore Y e Z. In coordinate locali, equivale all'equazione di Killing,

$\nabla _{\mu }X_{\nu }+\nabla _{\nu }X_{\mu }=0\,.$

Questa condizione è espressa in forma covariante. Pertanto, è sufficiente stabilirla in un sistema di coordinate e sarà valida in ogni altro.

In una varietà n-dimensionale, esistono al più n(n+1)/2 vettori di Killing indipendenti.

Esempi

In $\mathbb {R} ^{2}$ con la metrica $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}$, esistono 3 vettori di Killing, che corrispondono alle due traslazioni lungo gli assi coordinati e alla rotazione rispetto all'origine.

Nella 2-sfera con la metrica $ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}$, esistono 3 vettori di Killing, che corrispondono alle rotazioni nello spazio.

In generale, i vettori di Killing chiudono un'algebra di Lie, e le isometrie da essi generate formano un gruppo. Nella 2-sfera, si ha il gruppo SU(2), mentre nello spaziotempo con la metrica di Minkowski si ha il gruppo di Poincaré.

Bibliografia

• Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Berlino, Springer-Verlag, 2002, ISBN 3-540-42627-2.
• Ronald Adler, Maurice Bazin e Menahem Schiffer, capitoli 3 e 9, in Introduction to General Relativity, 2ª ed., New York, McGraw-Hill, 1975, ISBN 0-07-000423-4.
• Charles Misner, Kip Thorne e John Archibald Wheeler, Gravitation, San Francisco, W. H. Freeman and Company, 1973, ISBN 0-7167-0344-0.

Voci correlate

• Campo vettoriale affine
• Simmetrie dello spaziotempo