Varietà differenziabile

La nozione di varietà differenziabile è una generalizzazione del concetto di curva e di superficie differenziabile in dimensioni arbitrarie. Si tratta di una realizzazione del concetto di varietà che fa uso degli strumenti del calcolo infinitesimale.

Introduzione

Così come una curva differenziabile è un oggetto che localmente assomiglia ad una retta, o una superficie che localmente assomiglia ad un piano, una varietà n-dimensionale somiglierà localmente ad uno spazio euclideo n-dimensionale. L'aggettivo "differenziabile" indica il fatto che questa "somiglianza" locale è definita mediante parametrizzazioni dotate di una struttura differenziabile che verrà descritta in seguito e che garantisce la possibilità di associare univocamente in ogni punto uno "spazio tangente" della stessa dimensione della varietà (come ad esempio una retta tangente a una curva o un piano tangente a una superficie).

Le varietà differenziabili sono gli elementi di base della geometria differenziale, punto d'incontro di analisi e topologia. Essenzialmente la teoria delle varietà differenziabili serve a trasferire su oggetti tipicamente descritti come spazi topologici i concetti e gli strumenti del calcolo differenziale, definito generalmente sugli spazi euclidei. Lo studio delle varietà differenziabili è fondamentale in fisica, in quanto permette di definire campi vettoriali e flussi di fase su spazi non necessariamente piatti, ma trova innumerevoli applicazioni anche nella matematica pura, grazie alle interconnessioni con altre branche quali la topologia e la teoria dei numeri.

Definizione

Una varietà differenziabile X è una varietà topologica, tale che gli "incollamenti" fra gli aperti euclidei sono funzioni differenziabili. In altre parole, è una varietà topologica munita di un atlante massimale le cui funzioni di transizione sono differenziabili.

Proprietà

La "differenziabilità" viene trasportata sulla varietà interamente dallo spazio euclideo $\mathbb{R}$^d; in modo analogo tutte le proprietà e definizioni in geometria differenziale che riguardano la differenziabilità si effettuano trasferendo le analoghe proprietà dallo spazio euclideo alla varietà tramite le carte. Essendo ogni insieme W_j isomorfo a un aperto di $\mathbb{R}$^d, tutti i teoremi locali del calcolo differenziale ordinario si possono estendere direttamente alle varietà.

Sottovarietà

Una sottovarietà differenziabile N in una varietà differenziabile M è un sottoinsieme che può essere descritto localmente come zero di una funzione differenziabile

$f:U\to\R^k$

dove U è un aperto di M e il cui differenziale (letto su qualsiasi carta) è ovunque suriettivo. Si tratta effettivamente anch'essa di una varietà differenziabile, avente codimensione k in M (cioè, se dim M = n allora dim N = n − k). L'ipotesi di un differenziale surgettivo è necessaria per ottenere effettivamente una varietà differenziabile.

Nel caso k = 1, la varietà è anche detta ipersuperficie, e la condizione sul differenziale è equivalente alla richiesta che il gradiente di f sia (su ogni carta) ovunque diverso da zero.

Intorno tubolare

Un importante risultato riguardante le sottovarietà è il teorema dell'intorno tubolare. Il teorema asserisce che ogni sottovarietà differenziabile N ha un intorno fatto come un tubo, cioè diffeomorfo ad un fibrato di dischi k-dimensionali su N.

Voci correlate

• Spazio euclideo
• Spazio tangente
• Varietà
• Varietà algebrica

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