Distribuzione t di Student
| Funzione di densità di probabilità |
|
| Funzione di ripartizione |
|
| Parametri | (gradi di libertà) |
| Supporto | ![]() |
| Funzione di densità | ![]() |
| Funzione di ripartizione |
|
| Valore atteso | se n > 1non definita altrimenti |
| Mediana | ![]() |
| Moda | ![]() |
| Varianza | se n > 2infinita altrimenti |
| Skewness | se n > 3non definita altrimenti |
| Curtosi | se n > 4infinita altrimenti |
| Entropia | ![]() dove |
| Funz. Gen. dei Momenti | |
| Funz. Caratteristica | [1]dove Kn(x) è una funzione di Bessel |
In teoria delle probabilità la distribuzione di Student, o t di Student, è una distribuzione di probabilità continua che governa il rapporto tra due variabili aleatorie, la prima con distribuzione normale e la seconda il cui quadrato ha distribuzione chi quadrato.
Questa distribuzione interviene nella stima della media di una popolazione che segue la distribuzione normale, e viene utilizzata negli omonimi test t di Student per la significatività e per ogni intervallo di confidenza della differenza tra due medie.
Indice |
[modifica] Cenni storici
La distribuzione venne descritta nel 1908 da William Sealy Gosset, che pubblicò il suo risultato sotto lo pseudonimo "Student" perché la birreria presso la quale era impiegato vietava ai propri dipendenti di pubblicare articoli affinché questi non divulgassero segreti di produzione. Il nome distribuzione di Student venne successivamente introdotto da Ronald Fisher.[2][3]
[modifica] Definizione
La distribuzione di Student con parametro n (gradi di libertà) governa la variabile aleatoria
dove Z e S2 sono due variabili aleatorie indipendenti che seguono rispettivamente la distribuzione normale standard
e la distribuzione chi quadrato χ2(n) con n gradi di libertà.
[modifica] Stimatore
La media μ e la varianza σ2 di una popolazione X possono essere stimate tramite un suo campione di taglia n, X1,...,Xn con gli stimatori
,
.
La variabile aleatoria
segue una distribuzione normale standard,
, mentre la variabile aleatoria
segue una distribuzione chi quadrato con n-1 gradi di libertà, χ2(n − 1). Le due variabili aleatorie sono indipendenti, per il teorema di Cochran.
Senza conoscere la varianza σ2 non è possibile confrontare gli stimatori
e
con Z e V, che hanno distribuzioni di probabilità note. Ciononostante la variabile aleatoria
(ottenuta "sostituendo"
a σ2 nella definizione di Z) segue la distribuzione di Student con n-1 gradi di libertà.
[modifica] Caratteristiche
La distribuzione di Student con n gradi di libertà è simmetrica, perché lo è la distribuzione normale standard mentre la distribuzione chi quadrato che funge da "parametro casuale di scala" non produce effetti di distorsione di tale simmetria.
La sua funzione di densità di probabilità è
,
dove Γ indica la funzione Gamma e Β la funzione Beta.
La sua funzione di ripartizione è
,
dove
è la funzione Beta incompleta regolarizzata e
.
Per k < n i momenti (semplici o centrali) di ordine k della distribuzione sono
- μk = 0 se k è dispari,
se k è pari.
In particolare, oltre alla speranza matematica E[T] = 0 e all'indice di asimmetria γ1 = 0 (per n > 3) predetti dalla simmetria della distribuzione, si trovano:
[modifica] Statistica
[modifica] Intervallo di confidenza
La distribuzione di Student viene utilizzata per definire degli intervalli di confidenza per la media di una popolazione, sulla base degli stimatori puntuali
e
della sua media e della sua varianza. Dall'equazione
si ha infatti
.
Scegliendo quindi dei quantili qα < qβ per la distribuzione di Student con n gradi di libertà, si ha
,
cioè un intervallo di confidenza per la media μ con livello di confidenza β − α è:
.
Qualora si considerino intervalli simmetrici si può utilizzare l'indice zα definito da
,
ovvero
,
e si ottiene l'intervallo di confidenza per μ con livello di confidenza α
.
[modifica] Altre distribuzioni
La distribuzione di Student con parametro n = 1 corrisponde alla distribuzione di Cauchy di parametri (0,1): entrambe regolano il rapporto X / Y tra due variabili aleatorie indipendenti aventi distribuzione normale standard.
Al tendere di n a infinito la distribuzione di Student con n gradi di libertà converge alla distribuzione normale standard
.
La distribuzione di Fisher-Snedecor di parametri (1,n) corrisponde alla distribuzione di Student di parametro n e ne è quindi una generalizzazione.
[modifica] Tabella dei quantili
La seguente tabella[4] esprime, in funzione del parametro n (riga) e di particolari valori di α (colonna), i quantili qα per la distribuzione di Student di parametro n:
.
L'ultima riga, indicata con "
", si riferisce ad una distribuzione normale standard.
| n\α | 0.90 | 0.95 | 0.975 | 0.99 | 0.995 | 0.9975 | 0.999 | 0.9995 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 3.078 | 6.314 | 12.706 | 31.821 | 63.657 | 127.321 | 318.309 | 636.619 |
| 2 | 1.886 | 2.920 | 4.303 | 6.965 | 9.925 | 14.089 | 22.327 | 31.599 |
| 3 | 1.638 | 2.353 | 3.182 | 4.541 | 5.841 | 7.453 | 10.215 | 12.924 |
| 4 | 1.533 | 2.132 | 2.776 | 3.747 | 4.604 | 5.598 | 7.173 | 8.610 |
| 5 | 1.476 | 2.015 | 2.571 | 3.365 | 4.032 | 4.773 | 5.893 | 6.869 |
| 6 | 1.440 | 1.943 | 2.447 | 3.143 | 3.707 | 4.317 | 5.208 | 5.959 |
| 7 | 1.415 | 1.895 | 2.365 | 2.998 | 3.499 | 4.029 | 4.785 | 5.408 |
| 8 | 1.397 | 1.860 | 2.306 | 2.896 | 3.355 | 3.833 | 4.501 | 5.041 |
| 9 | 1.383 | 1.833 | 2.262 | 2.821 | 3.250 | 3.690 | 4.297 | 4.781 |
| 10 | 1.372 | 1.812 | 2.228 | 2.764 | 3.169 | 3.581 | 4.144 | 4.587 |
| 11 | 1.363 | 1.796 | 2.201 | 2.718 | 3.106 | 3.497 | 4.025 | 4.437 |
| 12 | 1.356 | 1.782 | 2.179 | 2.681 | 3.055 | 3.428 | 3.930 | 4.318 |
| 13 | 1.350 | 1.771 | 2.160 | 2.650 | 3.012 | 3.372 | 3.852 | 4.221 |
| 14 | 1.345 | 1.761 | 2.145 | 2.624 | 2.977 | 3.326 | 3.787 | 4.140 |
| 15 | 1.341 | 1.753 | 2.131 | 2.602 | 2.947 | 3.286 | 3.733 | 4.073 |
| 16 | 1.337 | 1.746 | 2.120 | 2.583 | 2.921 | 3.252 | 3.686 | 4.015 |
| 17 | 1.333 | 1.740 | 2.110 | 2.567 | 2.898 | 3.222 | 3.646 | 3.965 |
| 18 | 1.330 | 1.734 | 2.101 | 2.552 | 2.878 | 3.197 | 3.610 | 3.922 |
| 19 | 1.328 | 1.729 | 2.093 | 2.539 | 2.861 | 3.174 | 3.579 | 3.883 |
| 20 | 1.325 | 1.725 | 2.086 | 2.528 | 2.845 | 3.153 | 3.552 | 3.850 |
| 21 | 1.323 | 1.721 | 2.080 | 2.518 | 2.831 | 3.135 | 3.527 | 3.819 |
| 22 | 1.321 | 1.717 | 2.074 | 2.508 | 2.819 | 3.119 | 3.505 | 3.792 |
| 23 | 1.319 | 1.714 | 2.069 | 2.500 | 2.807 | 3.104 | 3.485 | 3.768 |
| 24 | 1.318 | 1.711 | 2.064 | 2.492 | 2.797 | 3.091 | 3.467 | 3.745 |
| 25 | 1.316 | 1.708 | 2.060 | 2.485 | 2.787 | 3.078 | 3.450 | 3.725 |
| 26 | 1.315 | 1.706 | 2.056 | 2.479 | 2.779 | 3.067 | 3.435 | 3.707 |
| 27 | 1.314 | 1.703 | 2.052 | 2.473 | 2.771 | 3.057 | 3.421 | 3.690 |
| 28 | 1.313 | 1.701 | 2.048 | 2.467 | 2.763 | 3.047 | 3.408 | 3.674 |
| 29 | 1.311 | 1.699 | 2.045 | 2.462 | 2.756 | 3.038 | 3.396 | 3.659 |
| 30 | 1.310 | 1.697 | 2.042 | 2.457 | 2.750 | 3.030 | 3.385 | 3.646 |
| 40 | 1.303 | 1.684 | 2.021 | 2.423 | 2.704 | 2.971 | 3.307 | 3.551 |
| 50 | 1.299 | 1.676 | 2.009 | 2.403 | 2.678 | 2.937 | 3.261 | 3.496 |
| 60 | 1.296 | 1.671 | 2.000 | 2.390 | 2.660 | 2.915 | 3.232 | 3.460 |
| 100 | 1.290 | 1.660 | 1.984 | 2.364 | 2.626 | 2.871 | 3.174 | 3.390 |
![]() |
1.282 | 1.645 | 1.960 | 2.326 | 2.576 | 2.807 | 3.090 | 3.291 |
[modifica] Note
- ^ Hurst, Simon, The Characteristic Function of the Student-t Distribution, Financial Mathematics Research Report No. FMRR006-95, Statistics Research Report No. SRR044-95
- ^ Student (William Sealy Gosset) (Marzo 1908). The probable error of a mean. Biometrika 6 (1): 1–-25 (in (EN)). DOI:10.1093/biomet/6.1.1.
- ^ Ronald Fisher (1925). Applications of "Student's" distribution. Metron 5: 90-–104 (in (EN)).
- ^ Valori critici calcolati con la funzione qt(p,g) di R.
[modifica] Voci correlate
- Distribuzione chi quadrato
- Distribuzione normale
- Test di verifica d'ipotesi
- Test t
- William Sealy Gosset
[modifica] Altri progetti
Wikimedia Commons contiene file multimediali su Distribuzione t di Student
[modifica] Collegamenti esterni
- Il test di Student di F. Scotti.
- (EN) Eric W. Weisstein, Distribuzione t di Student su MathWorld.
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(gradi di libertà)

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