Variabile casuale t di Student

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La variabile casuale t di Student è una variabile casuale continua che deve il suo nome allo pseudonimo Student usato da William Sealy Gosset, che ideò l'omonimo test, mentre la v.c. stessa venne identificata da Ronald Fisher.

Date 2 variabili aleatorie indipendenti Y e X^2_g che seguano rispettivamente la distribuzione normale ridotta e la distribuzione chi-quadro con g gradi di libertà, la variabile t di Student si definisce come loro rapporto ovvero come:

t = \frac{Y}{\sqrt{\frac{X^2}{g}}} = \sqrt{g} \frac{Y}{X}

A partire dalle distribuzioni delle 2 variabili, tramite opportune trasformazioni, si dimostra che la densità di probabilità della variabile t così costruita è:

f(t) =\frac{1}{\sqrt{g} \beta(\frac{1}{2}, \frac{g}{2}) (1+ \frac{t^2}{g})^{(g+1)/2} }= \frac{\Gamma\left(\frac{g+1}{2}\right)}{\sqrt{g} \ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{g}{2}\right)}\left(1+\frac{t^2}{g}\right)^{-\frac{g+1}{2}}\qquad\qquad t\in(-\infty,+\infty)

dove β() è la funzione Beta di Eulero e Γ() è la funzione Gamma.

I momenti di ordine k sono pari a:

\mu_k = \frac{1}{\sqrt{g} \beta(\frac{1}{2}, \frac{g}{2})} \int_{-\infin}^{\infin} \frac {t^k} {(1+ \frac{t^2}{g})^\frac{(g+1)}{2}}dt

ed esistono solo per g>k, inoltre sono nulli per tutti i momenti di ordine dispari, mentre per i momenti pari sono:

u_{2r}= g^r \frac {\Gamma(\frac{r+1}{2}) \Gamma(\frac{g}{2}-r)}{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{g}{2})}, g > 2r

dove Γ() è la funzione Gamma.


Per cui

la media
è nulla (μ=0),
la varianza
σ²=g/(g-2) (per g>2),
la simmetria
β1=0, per g>3, dunque si tratta di una variabile casuale simmetrica
la curtosi
β2 = 3 + 6/(g-4), per g>4 la v.c. è leptocurtica.

La v.c. t di Student ha le seguenti caratteristiche:

  • per g → +∞ tende ad una v.c. normale standardizzata (μ=0 e σ²=1)
  • se Z~N(0;1) e X~χ²g, allora T=Z/√X/g è distribuita come una t di Student con g gradi di libertà.
  • se g=2 allora si ottiene la v.c. di Cauchy, che non possiede momenti.

[modifica] Statistica

In statistica questa equazione è utilizzata per comparare una media semplice con uno specifico valore μ0.

t = \frac{\overline{X} - \mu_0}{s / \sqrt{N}}

s è la deviazione standard campionaria. N è la grandezza del campione. I gradi di libertà usati nel test sono N − 1.

[modifica] Voci correlate

[modifica] Tavola dei valori critici

Valori critici calcolati con la funzione qt(p,g) di R.
In pratica si tratta dei valori critici per test con una coda.

+----+-----------------------------------------------------------------+
| \ α|                                                                 |
|  \ |  0.90    0.95    0.975   0.99    0.995   0.9975  0.999   0.9995 |
| g \|                                                                 |
+----+-----------------------------------------------------------------+
|  1 |   3.078   6.314  12.706  31.821  63.657 127.321 318.309 636.619 |
|  2 |   1.886   2.920   4.303   6.965   9.925  14.089  22.327  31.599 |
|  3 |   1.638   2.353   3.182   4.541   5.841   7.453  10.215  12.924 |
|  4 |   1.533   2.132   2.776   3.747   4.604   5.598   7.173   8.610 |
|  5 |   1.476   2.015   2.571   3.365   4.032   4.773   5.893   6.869 |
|  6 |   1.440   1.943   2.447   3.143   3.707   4.317   5.208   5.959 |
|  7 |   1.415   1.895   2.365   2.998   3.499   4.029   4.785   5.408 |
|  8 |   1.397   1.860   2.306   2.896   3.355   3.833   4.501   5.041 |
|  9 |   1.383   1.833   2.262   2.821   3.250   3.690   4.297   4.781 |
| 10 |   1.372   1.812   2.228   2.764   3.169   3.581   4.144   4.587 |
| 11 |   1.363   1.796   2.201   2.718   3.106   3.497   4.025   4.437 |
| 12 |   1.356   1.782   2.179   2.681   3.055   3.428   3.930   4.318 |
| 13 |   1.350   1.771   2.160   2.650   3.012   3.372   3.852   4.221 |
| 14 |   1.345   1.761   2.145   2.624   2.977   3.326   3.787   4.140 |
| 15 |   1.341   1.753   2.131   2.602   2.947   3.286   3.733   4.073 |
| 16 |   1.337   1.746   2.120   2.583   2.921   3.252   3.686   4.015 |
| 17 |   1.333   1.740   2.110   2.567   2.898   3.222   3.646   3.965 |
| 18 |   1.330   1.734   2.101   2.552   2.878   3.197   3.610   3.922 |
| 19 |   1.328   1.729   2.093   2.539   2.861   3.174   3.579   3.883 |
| 20 |   1.325   1.725   2.086   2.528   2.845   3.153   3.552   3.850 |
| 21 |   1.323   1.721   2.080   2.518   2.831   3.135   3.527   3.819 |
| 22 |   1.321   1.717   2.074   2.508   2.819   3.119   3.505   3.792 |
| 23 |   1.319   1.714   2.069   2.500   2.807   3.104   3.485   3.768 |
| 24 |   1.318   1.711   2.064   2.492   2.797   3.091   3.467   3.745 |
| 25 |   1.316   1.708   2.060   2.485   2.787   3.078   3.450   3.725 |
| 26 |   1.315   1.706   2.056   2.479   2.779   3.067   3.435   3.707 |
| 27 |   1.314   1.703   2.052   2.473   2.771   3.057   3.421   3.690 |
| 28 |   1.313   1.701   2.048   2.467   2.763   3.047   3.408   3.674 |
| 29 |   1.311   1.699   2.045   2.462   2.756   3.038   3.396   3.659 |
| 30 |   1.310   1.697   2.042   2.457   2.750   3.030   3.385   3.646 |
| 40 |   1.303   1.684   2.021   2.423   2.704   2.971   3.307   3.551 |
| 50 |   1.299   1.676   2.009   2.403   2.678   2.937   3.261   3.496 |
| 60 |   1.296   1.671   2.000   2.390   2.660   2.915   3.232   3.460 |
|100 |   1.290   1.660   1.984   2.364   2.626   2.871   3.174   3.390 |
|  ∞ |   1.282   1.645   1.960   2.326   2.576   2.807   3.090   3.291 |
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