Variabile casuale di Rayleigh

La variabile casuale di Rayleigh è una variabile casuale continua.

$f(x|\sigma) = \frac{x \exp\left(\frac{-x^2}{2\sigma^2}\right)}{\sigma^2}$

$E(X)=\sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}$

e la sua varianza è

$Var(X)=\frac{4-\pi}{2} \sigma^2$

[modifica] Stima del parametro

La stima della massima verosomiglianza del parametro $σ$ viene approssimata con

$\sigma\approx\sqrt{\frac{1}{2N}\sum_{i=0}^N x_i^2}$

$R \sim \mathrm{Rayleigh}(\sigma^2)$ è una v.c. di Rayleigh se $R = \sqrt{X^2 + Y^2}$ donde $X \sim N(0, \sigma^2)$ y $Y \sim N(0, \sigma^2)$ sono due gaussiane independienti.
Se $R \sim \mathrm{Rayleigh}(1)$ allora $R 2$ è una variabile casuale chi quadro con due gradi di libertà: $R^2 \sim \chi^2_2$
Se $X$ è una variabile casuale esponenziale negativa $X \sim \mathrm{ExpNeg}(x|\lambda)$ allora $Y=\sqrt{2X\sigma\lambda} \sim \mathrm{Rayleigh}(y|\sigma)$ .
La variabile casuale chi è una generalizzazione della Rayleigh.
La variabile casuale di Rice è una generalizzazione della Rayleigh.
La variabile casuale di Weibull è una generalizzazione della Rayleigh.