Distribuzione di Rayleigh

Distribuzione di Rayleigh

Funzione di densità di probabilità
Funzione di ripartizione
Parametri	$\sigma^2>0\$
Supporto	$\mathbb{R}^+$
Funzione di densità	$\frac{z}{\sigma^2}e^{-\frac{z^2}{2\sigma^2}}$
Funzione di ripartizione	$1-e^{-\frac{z^2}{2\sigma^2}}$
Valore atteso	$\sqrt{\frac{\pi\sigma^2}{2}}$
Mediana	$\sqrt{\sigma^2\log(4)}$
Moda	$\sigma\$
Varianza	$(2-\frac{\pi}{2})\sigma^2$
Skewness	$\frac{2\sqrt{\pi}(\pi-3)}{(4-\pi)^{3/2}}\approx0,631$
Curtosi	$-2\frac{3\pi^2 - 12\pi +8}{(4-\pi)^2}\approx-0,245$
Entropia	$1+\frac{1}{2}\log\frac{\sigma^2}{2}+\frac{1}{2}\gamma$ con γ la costante di Eulero-Mascheroni
Funz. Gen. dei Momenti	$1+\sqrt{\tfrac{\pi\sigma^2}{2}}te^\frac{\sigma^2t^2}{2}\Big(\text{erf}\big(\sqrt{\tfrac{\sigma^2}{2}}t\big)+1\Big)$ con erf la funzione degli errori
Funz. Caratteristica	$1-\sqrt{\tfrac{\pi\sigma^2}{2}}te^{-\frac{\sigma^2t^2}{2}}\Big(w\big(\sqrt{\tfrac{\sigma^2}{2}}t\big)-i\Big)$ con w la funzione degli errori complessa

In teoria delle probabilità la distribuzione di Rayleigh è una distribuzione di probabilità che descrive la distanza dall'origine di un punto (X,Y) nel piano euclideo le cui coordinate siano indipendenti e seguano entrambe la distribuzione normale centrata.

Prende il nome da Lord Rayleigh.

Definizione

La distribuzione di Rayleigh di parametro σ² > 0 descrive la variabile aleatoria $Z=\sqrt{X^2+Y^2}$, dove X e Y sono variabili aleatorie indipendenti aventi entrambe distribuzione normale $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$.

La sua funzione di densità di probabilità è

$f(z)=\frac{z}{\sigma^2}e^{-\frac{z^2}{2\sigma^2}}$.

Questa si può ottenere direttamente dalla densità di probabilità della distribuzione normale, $\textstyle\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}$, sfruttando l'isotropia del vettore (X,Y):

$f(z)=\int_{x^2+y^2=z^2}\phi(x)\phi(y)d\mu=2\pi z\frac{1}{2\pi\sigma^2}e^{-\frac{z^2}{2\sigma^2}}$.

La sua funzione di ripartizione è

$F(z)=1-e^{-\frac{z^2}{2\sigma^2}}$.

La variabile aleatoria $kZ=\sqrt{(kX)^2+(kY)^2}$ segue la distribuzione di Rayleigh di paramero k²σ².

Caratteristiche

La variabile aleatoria Z con distribuzione di Rayleigh di parametro σ² ha

• momenti semplici

$\mu_n=E[Z^n]=(2\sigma^2)^\frac{n}{2}\Gamma(1+\tfrac{n}{2})$

dove Γ è la funzione Gamma, con $\Gamma(\tfrac{n}{2}+1)=\tfrac{n}{2}!$ se n è pari.

In particolare si ottengono

• la speranza matematica

$E[X]=\sqrt{\tfrac{\pi}{2}\sigma^2}$;

• la varianza

$\text{Var}(X)=E[X^2]-E[X]^2=2\sigma^2-\tfrac{\pi}{2}\sigma^2=\tfrac{4-\pi}{2}\sigma^2$;

• gli indici di asimmetria e curtosi

$\gamma_1=\frac{2\sqrt{\pi}{\pi-3}}{(4-\pi)^\frac{3}{2}}\approx 0,631$ e $\gamma_2=-2\frac{3\pi^2-12\pi+8}{(4-\pi)^2}\approx-0,245$.

I quantili q_α di ordine α sono

$q_\alpha=\sqrt{2\sigma^2\log\frac{1}{1-\alpha}}$;

in particolare

• la mediana è $\sqrt{2\sigma^2\log2}=\sqrt{\sigma^2\log4}$.

Statistica

Secondo il metodo della massima verosimiglianza lo stimatore del parametro σ² di n variabili aleatorie indipendenti con medesima distribuzione di Rayleigh è

$S^2=\frac{X_1^2+...+X_n^2}{2n}$.

Altre distribuzioni

Se $Z=\sqrt{X^2+Y^2}$ segue la distribuzione di Rayleigh di parametro σ² allora (Z / σ)² segue la distribuzione chi quadrato χ²(2), ovvero la distribuzione esponenziale $\mathcal{E}(\tfrac{1}{2})$.

La distribuzione di Maxwell-Boltzmann estende a tre dimensioni la distribuzione di Rayleigh, descrivendo la distanza $\sqrt{X^2+Y^2+Z^2}$ dall'origine di un vettore (X,Y,Z) nello spazio euclideo a tre dimensioni, le cui coordinate siano indipendenti e seguano la medesima legge normale centrata.

La distribuzione di Rice generalizza invece la posizione del punto (X,Y), prendendo X e Y non centrate.

Anche la distribuzione di Weibull è una generalizzazione della distribuzione di Rayleigh, che interpola con la distribuzione esponenziale.

Voci correlate

• Distribuzione normale
• John William Strutt Rayleigh

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