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Spazio-tempo di Schwarzschild

La soluzione di Schwarzschild per le equazioni di Einstein nel vuoto, descrive lo spazio-tempo attorno ad una massa sferica, non rotante, e priva di carica elettrica. Essa è stata storicamente la prima ad essere trovata, pochi mesi dopo la pubblicazione della teoria della relatività generale.

Karl Schwarzschild

Matematicamente rappresenta la geometria di uno spazio-tempo statico ed a simmetria sferica. Anzi, come dimostrato dal teorema di Birkhoff, la staticità è una conseguenza della simmetria sferica, e quella di Schwarzschild è la soluzione più generale che soddisfa a queste due richieste.

Benché essa sia un'approssimazione (praticamente tutti i corpi celesti ruotano), trova vaste applicazioni. I moti planetari attorno al Sole, ad esempio, che nella teoria della gravitazione newtoniana erano descritti come moti in un campo di [[Forza centrale|forze centrale, per cui erano valide le leggi di Keplero, sono descritti dalla relatività generale come moti di masse di prova (ossia moti geodetici) nello spazio-tempo di Schwarzschild. In particolare, se nella teoria Kepleriana le orbite dei pianeti erano ellissi, in quella relativistica sono "rosette" (per approfondire si veda oltre) ed esibiscono una precessione dell'asse dell'orbita, che era stata osservata già nel '600 e non era spiegabile nel quadro Newtoniano. Il calcolo esatto permesso dalla soluzione di Schwarzschild per l'angolo di precessione di Mercurio, costituì la prima forte prova a sostegno della bontà della teoria della relatività

La soluzione di Schwarzschild è anche all'origine di una delle idee della fisica che più fortemente ha stimolato l'immaginario collettivo, prestandosi spesso a speculazioni fantascientifiche: il buco nero. Come sarà mostrato meglio in seguito, se il corpo sorgente del campo gravitazionale è abbastanza denso, la soluzione di Schwarzschild prevede che attorno alla sorgente, ad una distanza nota come raggio di Schwarzschild, esista una superficie ideale, detta orizzonte degli eventi che divide lo spazio-tempo in due regioni non connesse causalmente, e che funziona come una membrana unidirezionale: tutto può entrare ma niente può uscire. In particolare neppure la luce, una volte attraversato l'orizzonte degli eventi, potrà più allontanarsi, e andrà inevitabilmente a collidere contro l'astro centrale. Non emettendo luce, l'oggetto risulterà totalmente nero ad un osservatore esterno, il che spiega il nome, usato per la prima volta da John Archibald Wheeler

Generalità

Se si introducono cordinate locali sferiche, ed una cordinata temporale, la metrica si scrive (si usa qui una metrica di segnatura -2):

$ds^{2}=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)dt^{2}-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)^{-1}dr^{2}-r^{2}d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}$

ove con M si indica la massa della sorgente, e in cui si è posto $G=c=1$ (unità di Planck). La scelta delle coordinate sferiché appare la più naturale, viste le simmetrie del problema, ma tuttavia non è la migliore per esplorare le caratteristiche dello spazio-tempo. Per questo motivo nel corso degli anni sono state introdotti differenti sistemi di coordinate locali, per mettere in mostra questa o quella caratteristica della geometria dello spazio-tempo. Di questo diremo dopo. La metrica espressa in coordinate sferiche, come l'abbiamo data, è indipendente dalle coordinate $\displaystyle {t}$ e $\displaystyle {\phi }$; questo comporta l'esistenza di due campi vettoriali, detti di Killing che corrispondono ad altrettante simmetrie dello spazio-tempo e quantità conservate.

Per la precisione la t-invarianza comporta un'invarianza per traslazioni temporali, e la quantità conservata è l'energia; la φ-invarianza comporta invece l'invarianza per rotazioni rispetto all'asse z, e la quantità conservatà è il momento angolare rispetto a tale asse.

È possibile scrivere la metrica in forma matriciale

$g_{ik}={\begin{pmatrix}\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)&0&0&0\\0&-{\frac {1}{\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)}}&0&0\\0&0&-r^{2}&0\\0&0&0&-r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix}}$

Essa è singolare nei punti ove è singolare la matrice $g_{ik}$ (in tal caso si estende il concetto di singolarità per comprendere anche $det(g_{ik})=\infty$ ). Per la metrica di Schwarzschild ciò avviene quando

• $\displaystyle {1-{\frac {2M}{r}}=0\iff r=2M}$
• $\displaystyle {r=0}$

Nel primo caso la singolarità è eliminabile cambiando coordinate (passando ad esempio alle coordinate di Kruskal, si veda oltre). Il valore $r=2M$ è noto come raggio di Schwarzschild (ovvero la distanza dal centro della stella a cui si forma l'orizzonte degli eventi). Il fatto che tale singolarità sia dovuta solo ad una cattiva scelta delle coordinate è verificato facilmente sapendo ad esempio che gli invarianti di curvatura non sono ivi divergenti, o notando che le geodetiche possono essere prolungate attraverso l'orizzonte degli eventi. Nel secondo caso, viceversa, si tratta di una singolarità non eliminabile e corrisponde ad una curvatura infinita dello spazio-tempo (gli invarianti di curvatura sono ivi divergenti), spesso raffigurata come un imbuto nel tessuto spazio-temporale.

Per concludere completamente la descrizione dello spazio-tempo si danno di seguito il valore delle componenti non nulle dei simboli di Christoffel e del Tensore di Riemann in coordinate sferiche.

Simboli di Christoffel:

${\Gamma }_{tr}^{t}=\displaystyle {\Gamma }\,_{rt}^{t}={\frac {MG}{r^{2}}}\,{\biggl (}1-{\frac {2MG}{r}}{\biggr )}^{-1}\;\;,\;\;\displaystyle {\Gamma }\,_{rr}^{r}=-{\frac {MG}{r^{2}}}\,{\biggl (}1-{\frac {2MG}{r}}{\biggr )}^{-1}\,,$

$\displaystyle {\Gamma }\,_{tt}^{r}={\frac {MG}{r^{2}}}\,{\biggl (}1-{\frac {2MG}{r}}{\biggr )}\;\;,\;\qquad \qquad \displaystyle {\Gamma }\,_{\phi \theta }^{\phi }=\displaystyle {\Gamma }\,_{\theta \phi }^{\phi }={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}\;,$

$\displaystyle {\Gamma }\,_{\theta \theta }^{r}=-r\,{\biggl (}1-{\frac {2MG}{r}}{\biggr )}\;\;,\qquad \qquad \;\;\;\displaystyle {\Gamma }\,_{\phi \phi }^{r}=-r\,\sin ^{2}\theta \,{\biggl (}1-{\frac {2MG}{r}}{\biggr )}\,,$

$\displaystyle {\Gamma }\,_{\theta r}^{\theta }=\displaystyle {\Gamma }\,_{r\theta }^{\theta }=\displaystyle {\Gamma }\,_{\phi r}^{\phi }=\displaystyle {\Gamma }\,_{r\phi }^{\phi }={\frac {1}{r}}\;\;,\;\quad \quad \;\displaystyle {\Gamma }\,_{\phi \phi }^{\theta }=-\sin \theta \,\cos \theta .$

Tensore di Riemann (a queste componenti vanno aggiunte quelle che si ottengono per simmetria nelle coppie di indici, si veda tensore di Riemann):

${\displaystyle {R}}_{\,t\,r\,t\,r}={\frac {2MG}{r^{3}}}\;,\qquad \;\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;{\displaystyle {R}}_{\,t\,\theta \,t\,\theta }=-{\frac {MG}{r}}{\biggl (}1-{\frac {2MG}{r}}{\biggr )}\,,$

${\displaystyle {R}}_{\,t\,\phi \,t\,\phi }=-{\frac {MG}{r}}{\biggl (}1-{\frac {2MG}{r}}{\biggr )}{\sin }^{2}\,\theta \,,\qquad \qquad \;{\displaystyle {R}}_{\,r\,\theta \,r\,\theta }={\frac {MG}{r}}{\biggl (}1-{\frac {2MG}{r}}{\biggr )}^{-1}\,,$

$\;\;{\displaystyle {R}}_{\,r\,\phi \,r\,\phi }={\frac {MG}{r}}{\biggl (}1-{\frac {2MG}{r}}{\biggr )}^{-1}\,{\sin }^{2}\,\theta \,,\qquad \quad \;\;{\displaystyle {R}}_{\,\theta \,\phi \,\theta \,\phi }=-2MGr\,{\sin }^{2}\,\theta \,.$

Lo spazio-tempo per sorgenti non troppo dense

Si è detto che la soluzione di Schwarzschild assume la sfericità e stazionarietà della massa sorgente. Tale situazione non è molto realistica, visto che praticamente tutti i corpi celesti ruotano, tuttavia lo spazio-tempo di Schwarzschild è un'ottima prima approssimazione (è possibile vedere che il campo gravitazionale prodotto da qualunque sorgente si confonde con quello di Scharzschild ponendosi abbastanza lontano dal corpo). Essa è adeguata per descrivere lo spazio-tempo attorno a corpi celesti non troppo densi, e permette di spiegare il comportamento di tutti i pianeti attorno al Sole, e dei satelliti attorno ai pianeti; ha cosentito di stimare il corretto angolo di deflessione dei raggi luminosi attorno ad un corpo celeste, e il ritardo temporale dei segnali che passano in prossimità del sole (effetto Shapiro). La prima verifica sperimentale della bontà della teoria, si ebbe con la corretta predizione dell'anomalia sull'angolo di precessione di Mercurio. A questo proposito è possibile con poca matematica derivare questo risultato fondamentale, come segue.

Come già detto, lo spazio-tempo di Schwarzschild, possiede due campi vettoriali di Killing, a causa dell'indipendenza della metrica rispetto al tempo t, ed all'angolo φ. Indichiamo tali vettori, in notazione di Cartan, come

$\displaystyle {\mathbf {\chi } =\partial _{t}}$

$\mathbf {\psi } =\partial _{\phi }$

E' noto che dato un campo di Killing $\mathbf {\Psi }$, la quantità fisica conservata ad esso associato è data da $g_{\mu \nu }\Psi ^{\mu }u^{\nu }$ ove u è la quadrivelocità lungo una geodetica, parametrizzata in modo affine da λ. Qui e nel seguito gli indici greci vanno da 0 a 3 e si usa la convenzione di Einstein sugli indici ripetuti;

Nel caso di Schwarzschild si hanno le due grandezze conservate:

$g_{\mu \nu }u^{\mu }\,\chi ^{\nu }=g_{tt}u^{t}\chi ^{t}=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\frac {dt}{d\lambda }}\equiv E$

$\displaystyle {}g_{\mu \nu }u^{\mu }\,\psi ^{\nu }=g_{\phi \phi }u^{\phi }\psi ^{\phi }=-r^{2}{\frac {d\phi }{d\lambda }}\equiv J$

e possono essere interpretate come l'energia e il momento angolare lungo la geodetica. Notiamo inoltre che, vista la simmetria dello spazio, una particella la cui orbita (cioè la proiezione spaziale della geodetica) si trovasse ad un dato istante in un piano, continuera a muoversi nello stesso piano. Ciò equivale alla possibilità di considerare, per chiarezza e una volta per tutte, un moto sul piano equatoriale, fissando quindi

$\displaystyle {}\theta ={\frac {\pi }{2}}\;\;,\;\;{\frac {d\theta }{d\lambda }}=0$

Possiamo dire qualcosa sull'evoluzione della coordinata radiale ricordando la relazione valida sempre per la quadrivelocità lungo una geodetica:

$\displaystyle {}g_{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }=\kappa \;\;(costante)$

in cui la costante vale 1 per geodetiche di tipo tempo (particella meteriali), e zero per geodetiche di tipo luce (fotoni). Sviluppando questa equazione tenendo conto delle componenti della metrica di Schwarzschild, e delle quantità conservate, si ha:

L'orbita di un pianeta non è un ellisse, ma una rosetta.L'angolo fra i raggi vettori che puntano a due perieli consecutivi è l'angolo di precessione.L'animazione mostra tre orbite consecutive, l'eccentricità è volutamente esagerata per evidenziare l'effetto

$\displaystyle {}-{\frac {1}{1-{\frac {2M}{r}}}}\left({\frac {dr}{d\lambda }}\right)^{2}+{\frac {E^{2}}{1-{\frac {2M}{r}}}}-{\frac {J^{2}}{r^{2}}}=\kappa$

che si può scrivere ordinando i termini:

$\displaystyle {}\left({\frac {dr}{d\lambda }}\right)^{2}+\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)\left({\frac {J^{2}}{r^{2}}}+\kappa \right)=E^{2}$

Si noti che, seguendo l'approccio classico per cercare le traiettorie nello spazio-tempo, si sarebbe dovuto risolvere l'equazione della geodetica:

$\displaystyle {{\frac {d^{2}x^{\mu }}{d\lambda ^{2}}}+\Gamma _{\sigma \rho }^{\mu }{\frac {dx^{\sigma }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\rho }}{d\lambda }}=0}$

per arrivare alle stesso conclusioni, ma con un numero maggiore di calcoli.

Combinando le equazioni per $dr/d\lambda$ e $d\phi /d\lambda$ si ottiene l'equazione inversa per un'orbita chiusa

$\displaystyle {}\phi (r)=\int ^{r}{\frac {J^{2}dr}{r^{2}\left(E^{2}-(1-{\frac {2M}{r}})({\frac {J^{2}}{r^{2}}}+1)\right)^{1/2}}}$

Sviluppando l'integrando in serie di $M/r$ supposto piccolo (il che è lecito per tutti i pianeti del sistema solare), e con un po' di algebra è possibile calcolare la precessione su una rivoluzione come il doppio della precessione che si ha fra il perielio $r_{-}$ e l'afelio $r_{+}$ (vista la simmetria dell'orbita rispetto all'asse maggiore):

$\Delta \phi _{orbita}=2\left|\int _{r_{-}}^{r_{+}}{\frac {J^{2}dr}{r^{2}\left(E^{2}-(1-{\frac {2M}{r}})({\frac {J^{2}}{r^{2}}}+1)\right)^{1/2}}}\right|\sim {\frac {6\pi M}{L}}rad/rivol$

ove L è il semilato retto dell'orbita (si veda ellisse). Inserendo i dati numerici si ottiene per il contributo alla precessione di Mercurio di origine puramente relativistica il valore:

$\displaystyle {}\Delta \phi =43.03\;\;secondi\;d'arco/secolo$

L'ottimo accordo col valore sperimentale, misurato nuovamente negli anni '40, e pari a 43.11 sec/secolo contribuì a dare peso e credibilità alla teoria Einstaniana della gravitazione.

Lo spazio tempo per sorgenti estremamente dense - Buchi neri

Si è detto prima che la metrica di Schwarzschild presenta due singolarità, per $r=0$ ed $r=2M$. La presenza della singolarità nell'origine delle coordinate non stupisce, in quanto la si ritrova anche nella teoria Newtoniana della gravitazione. Più sorprendente è invece l'altra singolarità, visto che classicamente non se ne ha alcuna traccia; in particolare ci si può chiedere cosa avviene se la sorgente del campo è un corpo così denso, che la sua superficie è all'interno della sfera di raggio 2M, per cui tale distanza è accessibile a corpi esterni (massivi o meno). Per dare un'idea, il raggio di Schwarzschild per il Sole è di poco meno di 3 km a fronte di un raggio "fisico" di quasi 700.000 km , si intuisce dunque facilmente come siano richieste densità altissime perché il raggio fisico sia minore del raggio di Scharzschild, e si abbia un buco nero. Per maggiori informazioni sulle caratteristiche generali si veda la voce buco nero. E' stato già anticipato che questa singolarità non è intrinseca dello spazio tempo, ma dovuta al particolare sistema di coordinate usato (singolarità coordinata).

Spazio-tempo deformato da un buco nero di massa crescente. All'inizio esso è piatto, nel seguito si forma un buco-nero.Il raggio del cerchio inferiore vale 2M, e rappresenta l'orizzonte degli eventi

Per capire meglio il comportamento dello spazio-tempo converrà quindi cambiare sistema di coordinate (operazione sempre consentita essendo le identità tensoriali soddisfatte in ogni sistema di riferimento)

Coordinate entranti di Eddington-Finkelstein

Si rivela pratico scegliere coordinate per cui le geodetiche radiali di tipo luce siano rappresentabili come rette inclinate di 45° in un diagramma spazio-tempo. Per il fotone si ha $ds^{2}=0$ per cui l'equazione per le geodetiche radiali è:

$dt^{2}={\frac {1}{\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)^{2}}}dr^{2}\equiv (dr*)^{2}$

ove abbiamo introdotto la coordinata radiale di Regge-Wheeler r*:

$\displaystyle {}r*=r+2Mln\left({\frac {r}{2M}}-1\right)\qquad per\quad r>2M$

usando questa coordiata radiale la metrica si scrive:

$ds^{2}=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)\left(dt^{2}-(dr*)^{2}\right)-r^{2}d\theta ^{2}-r^{2}sin\theta ^{2}$

Introducendo infine la coordinata entrante nulla di Eddington-Finkelstein

$\displaystyle {}v\equiv t+r*\qquad -\infty <v<+\infty$

Si noti che v è inizialmente definita solo per $r>2M$ ma può essere analiticamente estesa per tutti i valori di r. Possiamo scrivere la metrica espressa nelle coordinate entranti di Eddington-Finkelstein $(v,r,\theta ,\phi )$:

$ds^{2}=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)dv^{2}-2dvdr-r^{2}d\theta ^{2}-r^{2}sin\theta ^{2}$

A causa del termine misto, è immediato verificare come la metrica sia regolare per $r=2M$, per cui la singolarità di Schwarzschild è effettivamente di tipo coordinato.

Oltre a dimostrare la non singolarità fisica dell'orizzonte degli eventi, la metrica di Eddington-Finkelstein è molto adatta per capire come mai niente possa allontanarsi dal campo gravitazionale della sorgente una volta passato l'orizzonte degli eventi. Consideriamo per semplicità una geodetica radiale, per cui $d\theta =d\phi =0$; è possibile riarrangiare i termini della metrica in questo modo:

$2dv\,dr=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)dv^{2}-ds^{2}$

Trattiamo separatamente il caso di una particella massiva, e di un fotone.

Per la particella massiva che si muove su una geodetica di tipo tempo, con la nostra convenzione sui segni, si ha $ds^{2}>0$,inoltre per i punti all'interno dell'orizzonte degli eventi il coefficiente di $dv^{2}$ è negativo. Riassumendo

$2dv\,dr=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)dv^{2}-ds^{2}<0$

Il segno di dv non può essere arbitrario, poiché se consideriamo il moto "dal passato verso il futuro" si ha $dv>0$, in quanto v era stata definita come $v\equiv t+r*$, per cui se il tempo t aumenta anche il "tempo" v deve aumentare. Per rendere negativo il prodotto $2dv\;dr$ si deve quindi avere

$\displaystyle {}dr<0\qquad \quad per\;r<2M$

il che vuol dire che la distanza della particella dal centro dalla singolarità centrale può solo diminuire al trascorrere del tempo: la particella non può in nessun modo evitare la collisione con la massa centrale. Se si fosse considerato un fotone, al posto di una particella, l'unica differenza sostanziale sarebbe stato il porre $ds^{2}=0$, arrivando alle stesse conclusioni. Quindi neppure le onde elettromagnetiche possono allontanarsi dal campo gravitazionale della sorgente una volta che abbiano passato l'orizzonte degli eventi.

Questa caratteristica giustifica appieno il nome assegnato a questi corpi celesti: buchi neri, tale oggetto non permetterà infatti alla luce di lasciare il suo campo gravitazionale, e risulterà completamente invisibile ad un osservatore esterno.

Un possibile modo per "vedere" un buco nero: il buco nero formatosi in un sitema binario, a causa del suo intenso campo gravitazionale, sottrae materia alla stella parner, formando un caratteristico disco di accrescimento

Per tale motivo un'osservazione diretta è impossibile, e le sole possibilità di rilevare la presenza di un buco nero, sono legate agli effetti che il suo campo gravitazionale intenso ha sui corpi celesti che eventualmente gli sono vicini. Si veda ad esempio l'immagine qui di lato che rappresenta il sistema stellare binario GRO J1655-40. Una delle componenti è supposta essere un buco nero: il suo campo gravitazionale è così intenso da sottrarre alla partner (in primo piano) la materia degli strati esterni, formando un caratteristico disco di accrescimento (disco blu in secondo piano).

Coordinate uscenti di Eddington-Finkelsteins

Si noti come è possibile, partendo dalla metrica in coordinate sferiche, introdurre al posto della coordinata v, vista prima, la coordinata uscente di Eddington-Finkelsteins u, definita come:

$\displaystyle {}u\equiv t-r*\qquad -\infty <u<\infty$

anche essa definita inizialmente all'esterno dell'orizzonte degli eventi, ma prolungabile in maniera analitica. Nelle coordinate $(u,r,\theta ,\phi )$ la metrica si scrive:

$ds^{2}=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)du^{2}+2du\,dr-r^{2}d\theta ^{2}-r^{2}sin\theta ^{2}$

Nella regione all'interno dell'orizzonte degli eventi, tale metrica descrive un comportamento esattamente opposto a quello visto prima. E' facile infatti notare, seguendo lo stesso procedimento, che in questo caso la distanza di una particella (o fotone) dalla singolarità centrale, può solo aumentare col tempo. A questa particolare soluzione viene dato il nome di soluzione di buco bianco. La presenza (a livello matematico) della soluzione di buco bianco era prevedile, essendo le equazioni di Einstein invarianti rispetto alla riflessione temporale; si deve tuttavia notare che a differenza della soluzione di buco nero, che vede la sua realizzazione fisica possibile a seguito del collasso stellare di una stella abbastanza massiva, senza particolari altre richieste, la formazione di un buco bianco prevede delle condizioni iniziali estremamente improbabili, ed è praticamente esclusa dalla Congettura di Weyl, per cui essi non sono stati presi in considerazione seriamente dalla comunità scientifica, se non per un breve periodo, rimanendo oggetto solo di speculazione fantascientifica.

Coordinate di Kruskal

E' stato detto che le coordinate uscenti ed entranti di Eddington-Finkelstein descrivono comportamenti diversi all'interno dell'orizzonte degli eventi. E' possibile introdurre un altro sistema di coordinate, quelle di Kruskal-Szekeres, per avere una visione unitaria delle differenti possibili configurazioni per uno spazio-tempo di Schwarzschild. In queste coordinate la metrica si scrive (con segnatura +2 per ragioni di comodità):

$\displaystyle {}-{\frac {32\,M}{r^{3}}}e^{-{\frac {r}{2M}}}dUdV+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}sin\theta ^{2}d\phi ^{2}$

ove le coordinate U e V sono definite al di fuori dell'orizzonte degli eventi, e sono legate alle coordinate entranti e uscenti dalle seguenti relazioni:

$\displaystyle {}U\equiv -e^{\frac {-u}{4M}}$

$V\equiv e^{\frac {v}{4M}}$

La vecchia coordinata radiale r va intesa adesso come funzione di U e V, e definita implicitamente dalla relazione

$\displaystyle {}U\,V=-e^{\frac {r*}{2M}}=\left(1-{\frac {r}{2M}}\right)e^{\frac {r}{2M}}$

Diagramma di Kruskal per uno spazio di Schwarzschild

La metrica di Kruskal è inizalmente definita per $U<0\;\;\;V>0$, ma può essere estesa analiticamente per ogni valore delle due variabili; essa non presenta alcun comportamento particolare per r=2M.

In queste coordinate la singolarità centrale si ha per

$\displaystyle {}UV=1$

per cui essa non sarà un punto, ma due archi di iperbole. L'orizzonte degli eventi è invece dato da:

$\displaystyle {}UV=0$

cioè lungo gli assi U, V.

Si noti che U e V sono coordinate radiali nulle, per cui i coni di luce avranno i lati lungo queste direzioni. Nell'immagine a lato è disegnato un tipico diagramma di Kruskal, gli assi U e V sono inclinati, in modo che nel grafico i coni di luce appaiano coi lati inclinati a 45°, e si considerano fissati i valori di $\theta$ e $\phi$. Lo spazio tempo risulta in tal modo diviso in quattro regioni, corrispondenti ai quattro quadranti, e indicate nel disegno con numeri romani. Le regioni corrispondenti alla soluzione di buco nero sono I (spazio-tempo fuori dall'orizzonte degli eventi) e II (interno dell'orizzonte), mentre le regioni III e IV corrispondono alla soluzione di buco bianco. E' possibile vedere come i moti a distanza costante dalla singolarità siano archi di iperbole nella regione I (rappresentati da punti dorati). La linea di punti blu rappresenta il moto di una particella materiale che oltrepassa l'orizzonte degli eventi e va a collidere con la singolarità centrale.

Con l'aiuto del grafico a lato, si vede facilmente del perché qualunque segnale fisico non possa, una volta superato l'orizzonte degli eventi, tornare nella regione I, o comunicare con essa. Considerando ad esempio il moto della massa (punti blu) ci si concentri nel punto P all'interno dell'orizzonte degli eventi, indicato in figura. Dal punto P essa potrà proseguire il suo moto solo in direzioni che sono all'interno del suo cono di luce futuro, andando quindi prima o poi a collidere contro l'arco di iperbole corrispondente a r=0 nella regione II. Se la massa fosse luminosa, essa potrebbe dal punto P, inviare segnali luminosi lungo i lati del suo cono: anch'essi finirebbero contro la singolarità centrale, e all'esterno dell'orizzonte degli eventi non si vedrebbe niente. Per quanto detto la regione I non può seguire casualmente la regione II.

Massima estensione analitica

Ricapitolando un po', si è visto come nella metrica di Schwarzschild, in coordinate sferiche, si incontrino "problemi" per $r=2M$. Le geodetiche (ad es. radiali entranti) incontreranno l'orizzonte degli eventi per un valore finito del parametro affine (tempo proprio per particelle materiali). Tali geodetiche potranno essere prolungate, all'interno dell'orizzonte degli eventi, eventualmente con un opportuno cambio di coordinate (passando alle coordinate di Eddington-Finkelstein entranti, ad es.), ed andranno a interrompersi nella singolarità centrale ($r=0$ ). E' possibile definire come singolare uno spazio-tempo per cui esistono geodetiche che non possono essere prolungate per valori arbitrari del parametro affine, o , detto altrimenti, che si interrompono da qualche parte. Procedendo in tal modo per tutte le geodetiché dello spazio, cambiando coordinate se necessario, è possibile dimostrare che la metrica di Kruskal realizza la massima estensione analitica dello spa zio-tempo di Schwarzschild, intendendo con ciò che tutte le geodetiché possono essere prolungate per valori arbitrari del parametro affine o terminano nella (provengono dalla, nel caso di buco bianco) singolarità centrale.

Bibliografia ragionata

Libri ottimi per cominciare, che danno per scontata solo una buona preparazione fisico-matematica:

1. S. Bergia, F. Alessandro, Le strutture dello spazio-tempo, Clueb, 2001 - Molto adatto per cominciare a prendere confidenza con la relatività
2. R. d'Inverno, Introducing Einstein's relativity, Oxford University press, 2006 - Da evitare la traduzione italiana, edita da Clueb, stracolma di missprint

Libri di approfondimento, per cui una preparazione preliminare è auspicabile:

1. S. Weinberg, Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity, John Wiley and sons, 1972 - Trattazione prevalentemente algebrica, trascurata la visione astratta dei tensori, più usata oggi. Rimane ottimo
2. H.C. Ohanian, Gravitation and space time, W.W. Norton and Company, 1976 - successivamente rivisto a quattro mani con R. Ruffini, esiste una versiona italiana edita da Zanichelli
3. R.M. Wald, General relativity, University Of Chicago Press, 1984 - Ottimo libro, completo, e in cui è usata la notazione tensoriale astratta

Libri altamente tecnici, richiedono un background elevato:

1. C.W. Misner, K.S. Torn, J.A. Wheeler, Gravitation, W.H. Freeman and Company, 1972 - Il libro di riferimento assoluto. Più di 1200 pagine, esplora in maniera esaustiva ogni aspetto della teoria della relatività, della formazione stellare, della cosmologia...
2. S.W. Hawking e G.F.R. Ellis, The large scale structure of the space-tipe, Cambridge Monographs on Mathematical Physics, 1973 - Ottima trattazione degli aspetti topologici della gravitazione
3. H. Stephani, D. Kramer, M. MacCallum, e C. Hoenselaers, Exact solutions of Einstein's field equations, Cambridge University Press, 2002 - Raccoglie tutte le soluzioni esatte note per le equazioni di Einstein
4. S. Chandrasekhar, Mathematical Theory of Black Holes, Oxford University Press, 1983 - Libro di riferimento per uno studio completo sui buchi neri.

Collegamenti esterni

1. Articolo di P.K. Townsend sui buchi neri. Estremamente completo, richiede un livello molto alto.

Voci correlate

• Raggio di Schwarzschild
• Massa di Chandrasekhar
• Buco nero
• Buco bianco
• Buco nero di Kerr-Newman
• Relatività generale
• Disco di accrescimento
• Gravitazione
• Orizzonte degli eventi
• Singolarità gravitazionale

[[Categoria:Buchi neri]]

Derivata di Lie

Parentesi di Lie

Data una varietà di dimensione n, e considerando due campi vettoriali X e Y ed una funzione scalare f è possibile definire assiomaticamente le parentesi di Lie di X e Y (in quest'ordine), come l'operatore avente le seguenti proprietà:

${\mathfrak {}}[X,Y](\alpha f+\beta g)\equiv \alpha [X,Y]f+\beta [X,Y]g$

$\displaystyle {[X,Y](fg)=([X,Y]f)g+f([X,Y]g)}$ La prima di tali proprietà definisce l'operatore come lineare, mentre la seconda lo definisce come operatore differenziale (Regola di Leibniz).

Ciò detto, si consideri la varietà dotata in ogni punto di una base di vettori $\displaystyle {\mathbf {e_{i}} }$ e della corrispondente base duale di uno-forme $\displaystyle {\mathbf {e^{j}} }$.

Consideriamo un campo vettoriale X, e definiamo l'operatore derivata di Lie rispetto al vettore X, ${\mathfrak {L}}_{X}$ tramite la sua azione su un campo scalare f

${\mathfrak {L}}_{X}f\equiv X(f)=X^{i}\mathbf {e_{i}} (f)$

e su un campo vettoriale $\mathbf {Y}$

${\mathfrak {L}}_{X}Y\equiv [X,Y]=XY-YX=(X^{i}e_{i}(Y^{j})-Y^{i}e_{i}(X^{j}))e_{j}$

Regola di Leibnitz rispetto al prodotto tensoriale

${\mathfrak {L}}_{X}(T\otimes S)={\mathfrak {L}}_{X}T\otimes S+T\otimes {\mathfrak {L}}_{X}S$

Questo permette ad esempio di stimare l'azione della derivata di Lie su una 1-forma $\omega$.

Consideriamo la versione contratta di

${\mathfrak {L}}_{X}(\omega \otimes Y)={\mathfrak {L}}_{X}\omega \otimes Y+\omega \otimes {\mathfrak {L}}_{X}Y$

Poiché $<\omega ,Y>$ è uno scalare, possiamo utilizzare le regole su date per ottenere:

$X^{i}e_{i}(\omega _{j}Y^{j})=({\mathfrak {L}}_{X}\omega )_{i}Y^{i}+\omega _{j}(X^{i}e_{i}(Y^{j})-Y^{i}e_{i}(X^{j}))$

$X^{i}Y^{j}e_{i}(\omega _{j})+X^{i}\omega _{j}e_{i}(Y^{j})=({\mathfrak {L}}_{X}\omega )_{i}Y^{i}+\omega _{j}X^{i}e_{i}(Y^{j})-\omega _{j}Y^{i}e_{i}(X^{j})$

essendo arbitrario il vettore Y si deduce

$({\mathfrak {L}}_{X}\omega )_{j}=X^{i}e_{i}(\omega _{j})+\omega _{i}e_{j}(X^{i})$

cose da fare

espandere campo gravitazionale controllare geodetica