Universo di Grothendieck

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In matematica, in particolare in teoria assiomatica degli insiemi, un universo di Grothendieck è un insieme U tale che:

  1. Se x è un elemento di U e y è un elemento di x allora anche y è un elemento di U.
  2. Se x e y sono elementi di U allora {x,y} è un elemento di U.
  3. Se x è un elemento di U, allora P(x), l'insieme delle parti di x, è un elemento di U.
  4. Se x è un elemento di U allora l'unione \bigcup x è un elemento di U.

Un universo di Grothendieck è un insieme in cui tutte le operazioni insiemistiche possono essere eseguite (Infatti un universo di Grothendieck non numerabile fornisce un modello di teoria degli insiemi con la naturale relazione di appartenenza ∈). Per esempio, proviamo la seguente proposizione:

Proposizione 1.
Se x \in U e y \subseteq x allora y \in U.
Dimostrazione.
y \in P(x) poiché y \subseteq x. P(x) \in U poiché x \in U, quindi y \in U.

In maniera simile si prova che ogni universo di Grothendieck U contiene:

  • Tutti i singoletti di ognuno dei suoi elementi,
  • Tutti i prodotti di tutte le famiglie di elementi di U indicizzate da elementi di U,
  • Tutte le unioni disgiunte di famiglie di elementi di U indicizzate da elementi di U,
  • Tutte le intersezioni di tutte le famigli di elementi di U indicizzate da elementi di U,
  • Tutte le funzioni tra due elementi di U, e
  • Tutti i sottoinsiemi di U la cui cardinalità è un elemento di U.

L'idea degli universi è dovuta ad Alexander Grothendieck, che la usò come metodo per evitare la classi in geometria algebrica.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]