Ugello de Laval

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1leftarrow.pngVoce principale: ugello di scarico.

Schema di un ugello convergente-divergente.

L'ugello de Laval, o più comunemente ugello convergente-divergente, è un ugello di scarico ipersonico, a differenza dell'ugello convergente che invece è subsonico.

Schematicamente è costituito da un tubo che presenta una strozzatura centrale, simile ad una clessidra asimmetrica. Il suo funzionamento a regime (velocità pari alla velocità del suono nella sezione di gola, ovvero nella sezione più piccola) permette di accelerare un gas caldo fino a velocità supersoniche, convogliando il flusso di scarico in modo da trasformare la sua energia termica e di pressione in energia cinetica.[1] [2] [3] [4]

Modelli matematici con simili caratteristiche di flusso sono stati applicati a correnti a getti in astrofisica.[5]

Indice

[modifica] Cenni storici

Fu sviluppato nel XIX secolo dall'ingegnere svedese Gustaf de Laval, che nel 1889 depositò un brevetto[6] per un ugello divergente usato nelle turbine a vapore da lui disegnate.

Il primo ad applicarlo ad un motore a razzo fu lo scienziato statunitense Robert Goddard. Oggi praticamente tutti gli endoreattori che sfruttano l'espansione di gas caldi per ottenere una spinta utilizzano ugelli de Laval.

[modifica] Funzionamento

andamento dei parametri:
P: Pressione
V: Velocità
T: Temperatura
M: Mach

Il funzionamento si basa sul diverso comportamento di un flusso subsonico e di uno supersonico al variare della sezione del condotto.

In regime subsonico, un fluido che attraversi un condotto le cui sezioni vanno restringendosi (convergente) deve aumentare la sua velocità in modo da mantenere costante la portata in massa. L'ugello è disegnato in modo tale per cui, in corrispondenza della sezione minore (gola), il fluido raggiunga condizioni di saturazione (ovvero raggiunga Mach = 1).

Passata la gola, il flusso sonico attraversa sezioni che vanno allargandosi (parte divergente dell'ugello) e quindi comincia ad espandersi e ad aumentare la velocità fino a raggiungere un regime supersonico. A questo punto le onde sonore non possono più propagarsi all'indietro nel gas.

Per dimostrare matematicamente il concetto conviene considerare un flusso quasi-unidimensionale isoentropico di un gas perfetto per il quale l'equazione di conservazione della massa vale:

\frac{d\rho}{\rho} + \frac{du}{u} + \frac{dA}{A}= 0

dove

  • ρ; densità del gas
  • u; velocità del gas
  • A; area della sezione del condotto

Esprimendo : \frac{d\rho}{\rho} in funzione del numero di Mach : M = \frac{u}{a}

\frac{d\rho}{\rho} = - \frac{u^2}{a^2} \frac{du}{u} = - M^2 \frac{du}{u}

e sostituendo nell'equazione di conservazione della massa si ottiene:

\frac{du}{u} = \frac{1}{(M^2-1)}\frac{dA}{A}

Da questa equazione si nota come nel caso di flusso subsonico (M<1) al crescere della sezione (dA/A >0) la velocità diminuisce, mentre al suo diminuire (dA/A <0) la velocità aumenta.

[modifica] Condizioni di funzionamento

La condizione di saturazione (choking) nella gola dell'ugello si avrà solamente se la portata e la pressione del fluido a monte sono sufficienti, altrimenti il fluido rimarrà subsonico e l'ugello si comporterà come un tubo Venturi.

Inoltre, la pressione del gas all'uscita dell'ugello non deve essere troppo bassa rispetto a quella ambiente (ugello sovraespanso). Anche se l'informazione di pressione non può risalire il flusso supersonico, una pressione esterna molto bassa può "infiltrarsi" nello strato limite subsonico che riveste le pareti dell'ugello e "scollare" il flusso supersonico provocando forti turbolenze anche in grado di distruggere l'ugello stesso.

[modifica] Velocità del gas di scarico

Variazione di velocità con un ugello a geometria variabile

Il gas entra in un ugello viaggiando a velocità subsonica, quando poi passa nel tratto convergente viene forzato ad accelerare fino all'imboccatura della sezione di gola, dove l'area trasversale al moto del gas è la più piccola; qui, in condizioni normali di funzionamento (condizioni di saturazione), il gas raggiunge una velocità sonica. Superata la sezione di gola si arriva al cono divergente, il gas continua ad espandersi mentre la sua velocità diventa supersonica.

La velocità lineare del gas di scarico in uscita può essere calcolata utilizzando la seguente equazione[7]:

V_e = \sqrt{\;\frac{T\;R}{M}\cdot\frac{2\;k}{k-1}\cdot\bigg[ 1-(P_e/P)^{(k-1)/k}\bigg]}

Dove:

Alcuni valori tipici per la velocità dei gas di scarico Ve nei motori a razzo alimentati con propellenti diversi sono i seguenti:

  • Da 1,7 a 2,9 km/s (da 3 800 a 6 500 mph) per i monopropellente liquidi
  • Da 2,9 a 4,5 km/s (da 6 500 a 10 100 mph) per i bipropellente liquidi
  • Da 2,1 a 3,2 km/s (da 4 700 al 7 200 mph) per propellente solido

Da notare che Ve è talvolta indicata come la "velocità ideale dei gas di scarico" in quanto ci si basa sul presupposto che il gas di scarico si comporti come un gas ideale.

Come esempio di calcolo per utilizzare la formula di cui sopra, si può assumere che per il gas di combustione valgano le seguenti condizioni:

  • Pressione assoluta all'ingresso: P = 7,0 MPa;
  • Pressione assoluta allo scarico: Pe = 0,1 MPa;
  • Temperatura assoluta all'ingresso: T = 3 500 K;
  • Fattore di espansione politropica: k = 1,22;
  • Massa molare: M = 22 kg/kmol;

Utilizzando i dati di cui sopra, l'equazione della velocità del gas all'uscita dell'ugello fornisce il seguente valore di velocità: Ve = 2 802 m/s o 2,8 km/s, che è coerente con valori tipici di cui sopra.

La letteratura tecnica può a volte essere discordante, perché molti autori non indicano se stanno utilizzando la costante universale dei gas R o la costante specifica dei gas \bar{R}.

Il rapporto tra le due costanti è \bar{R} = \frac R M.

[modifica] Applicazione

È impiegato nelle turbine a vapore, in turbogetti, turboventole ed endoreattori, per esempio in sonde e satelliti che utilizzano una propulsione chimica.

Il modello di flusso di un ugello de Laval si può applicare inoltre anche a fenomeni astrofisici nel mezzo interstellare. L'interno di un disco di accrescimento svolge una funzione simile a quella dell'ugello, pur tenendo conto che non ha una parete solida, ma è esso stesso un fluido che può contenere un getto relativistico racchiuso entro un contorno a pressione bilanciata.

[modifica] Note

  1. ^ Clarke, C. J. & Carswell B., Principles of Astrophysical Fluid Dynamics, chpt 9.2, 1st Edition, Cambridge University Press, 2007, pp. 226. ISBN 978-0521853316
  2. ^ Richard Nakka's Equation 12
  3. ^ Robert Braeuning's Equation 1.22
  4. ^ Sutton, George P., Rocket Propulsion Elements: An Introduction to the Engineering of Rockets, 6th Edition, Wiley-Interscience, 1992, pp. 636. ISBN 0471529389
  5. ^ Cathy J. Clarke & Bob Carswell; Principles of Astrophysical Fluid Dynamics, capítolo 9.2, Cambridge University Press (2007). ISBN 978-0521853316
  6. ^ British Patent No. 7143 del 1889
  7. ^ Di Giacinto, Maurizio. Accelerazione del fluido propulsivo negli endoreattori termici. Corso di Propulsione Aerospaziale Lez. 16: pag. 4. URL consultato il 23 febbraio 2011.

[modifica] Bibliografia

[modifica] Voci correlate

[modifica] Collegamenti esterni

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