Tromba di Torricelli

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La Tromba di Torricelli, detta anche di Gabriele, è un solido ottenuto dalla rivoluzione intorno all'asse x della curva di equazione y=\frac{1}{x} nell'intervallo [1,+\infty). Questo solido ha la particolarità di avere volume finito, ma area infinita. Il solido viene anche chiamato Tromba di Gabriele in riferimento all'Arcangelo Gabriele, l'angelo che, secondo tradizione, soffierà nel corno per annunciare l'apocalisse, associando il divino (e quindi l'infinito) al finito.

Visualizzazione della superficie della Tromba di Gabriele

Spiegazione[modifica | modifica sorgente]

La spiegazione di questo paradosso è relativa alla dimensione delle grandezze coinvolte nei calcoli. La dimensione della lunghezza è 1, area 2 e volume 3 (m, m2, m3). Quando calcoliamo l'area della superficie di un solido di rotazione, supponiamo che il risultato sia composto di piccole strisce di quantità unidimensionale - "anelli" i cui raggi sono uguali all'altezza del solido in un punto dato. Quando queste vengono integrate (e quindi sommate tra loro) il risultato è una quantità bidimensionale: l'area della superficie. Similarmente, per misurare il volume di questo solido di rotazione si sommano al totale tutti gli anelli (il cui raggio è, di volta in volta, l'altezza del solido); il risultato è una grandezza tridimensionale (volume).

Il paradosso sorge in quanto la lunghezza degli "anelli", che viene sommata per ottenere l'area della superficie, è di una dimensione minore (1 vs 2) dei vari "dischi" che vengono usati per trovare il volume.

Grazie alle formule di integrazione possiamo calcolare l'area e il volume del solido di rotazione:

 Area = \int_{1}^{\infty} 2 \pi y \sqrt{1 + y'^2} dx \ge
\ge 2 \pi \int_{1}^{\infty} y dx =
= 2 \pi \int_{1}^{\infty} \frac {1} {x} dx =
= 2 \pi \cdot \lim_{z \to +\infty }\left  [ln(x) \right]_{x=1}^{z} = 2 \pi \cdot (\lim_{z \to +\infty} \ln{z} - \ln{1})= \infty.

Per il volume usiamo la seguente formula:

Volume = \pi \int_a^b f^2(x) \,dx \qquad
= \pi \int_{1}^{+\infty}   \frac{1}{x^2} dx =
= \pi \left [-\frac {1} {x} \right]_{1}^{+\infty} =
= \pi \cdot [0 - (-1)] = \pi.

Essenzialmente, ciò significa che mentre X diventa sempre più grande, la grandezza numerica dei dischi bidimensionali che vengono aggiunti è sempre più piccola degli anelli unidimensionali, che diminuiscono così troppo velocemente per aumentare il volume ad una grandezza che sia superiore a Pi Greco. Quando integrato (come sopra), dovrebbe essere ovvio che il volume converge velocemente su Pi Greco.

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