Trasformazione politropica

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Si dice politropica una trasformazione termodinamica che segue una legge del tipo:

p \cdot v^n = {\rm cost}

dove:

La politropica è una legge valida nell'ipotesi di una trasformazione reversibile valida sia per i gas perfetti che per i gas reali.

Particolari valori dell'esponente caratteristico[modifica | modifica wikitesto]

Politropiche notevoli sul piano di Clapeyron.

La trasformazione politropica generalizza quattro trasformazioni quasistatiche fondamentali: isoentropica, isobara, isocora, isoterma. In base all'esponente caratteristico n si ottiene:

  • n = 0, c = c_p e la trasformazione è isobara (p=cost)
  • n = 1, c = \pm \infty e la trasformazione è isoterma (pv=cost)[1]
  • n = \pm \infty, c = c_v e la trasformazione è isocora (v=cost)[2]
  • n=k, c = 0 e la trasformazione è adiabatica \delta q=0[3].

Il calore specifico è negativo per 1<n<k ovvero per trasformazioni comprese tra l'isoterma e l'adiabatica.

Trasformazione politropica di gas perfetto[modifica | modifica wikitesto]

Dato un gas a comportamento perfetto vale la relazione pv=RT dove R è la costante specifica dei gas e non quella universale e dipende dal tipo di gas. Componendo questa relazione con quella della politropica si ottengono altre due espressioni della trasformazione politropica valide solo nell'ipotesi di gas perfetto:

  • Tv^{n-1}=\mbox{cost}
  • Tp^\frac{1-n}{n}=\mbox{cost}

Calore specifico[modifica | modifica wikitesto]

Il calore specifico viene definito come:

 c = \frac {\delta q} {dT}

dove \delta q è il calore per unità di massa e \delta indica un differenziale non esatto.

Non è detto che per una trasformazione politropica c sia costante, lo è solo nel caso di gas perfetto[4].

Nel caso di gas perfetto sottoposto a trasformazione politropica si può dimostrare[5] che (con k=cost)

c = c_v \cdot \frac {n - k} {n - 1}

Si noti che  k = \frac {c_p}{c_v} = 1 + \frac {R}{c_v} \Rightarrow k > 1 tramite la relazione di Mayer

Lavoro di variazione di volume[modifica | modifica wikitesto]

Il lavoro specifico si calcola come:

\int_1^2pdv=p_1 v_1^n\int_1^2 \frac{dv}{v^n}

da cui si ottiene:

l=\begin{cases} \frac{p_1 v_1}{n-1}\cdot \left [1- \left( \frac{v_1}{v_2} \right )^{n-1} \right ] & \mbox{se }n\ne 1 \\ p_1 v_1\cdot \ln\left(\frac{v_2}{v_1}\right) & \mbox{se }n=1 \end{cases}.

Per ottenere il lavoro totale basta moltiplicare per la massa del sistema. La prima espressione vale per qualsiasi fluido sottoposto a trasformazione politropica, nel caso di gas a comportamento perfetto valgono le seguenti relazioni:

  • l=\frac{R}{n-1}\cdot(T_1-T_2) \mbox{ se }n\ne 1
  • l=\begin{cases} \frac{R T_1}{n-1}\cdot \left [1- \left( \frac{p_2}{p_1} \right )^{{n-1}\over n} \right ] & \mbox{se }n\ne 1 \\ R T_1\cdot \ln \left ( \frac{p_2}{p_1} \right ) & \mbox{se }n=1 \end{cases}.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ per la trasformazione isoterma: vale che dT = 0,  c \rightarrow \infty in base alla definizione di calore specifico, e n \rightarrow 1. Quindi, nel caso della trasformazione isoterma, l'espressione di una trasformazione politropica si riconduce alla Legge di Boyle-Mariotte.
  2. ^ pv^n=\mbox{cost} \Leftrightarrow p^{\frac{1}{n}}v=\mbox{cost} se n = \pm \infty \Rightarrow v=\mbox{cost}
  3. ^ per un'adiabatica \delta q=0 \Rightarrow c=\frac {\delta q}{dT}=0 \Rightarrow n=k per l'espressione c = c_v \cdot \frac {n - k} {n - 1}, precisamente si tratta di una trasformazione isoentropica ovvero un'adiabatica reversibile
  4. ^ Si definisce "gas piuccheperfetto" un gas perfetto in cui c_v e c_p sono costanti
  5. ^ \delta q= du + pdv=c_vdT+pdv \Rightarrow c = c_v + p \frac{dv}{dT} siccome il gas è perfetto derivando l'espressione Tp^\frac{1-n}{n}=\mbox{cost} si ottiene T(n-1)dv+vdT=0 \Rightarrow \frac{dv}{dT}=-\frac{v}{(n-1)T} da cui  c = c_v - \frac {1}{n-1} \cdot \frac {pv}{T} = c_v - \frac {R}{n-1}=\frac{n c_v - c_p}{n-1}=c_v \cdot \frac{n-k}{n-1}

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Gaetano Alfano, et al., Lezioni di Fisica Tecnica, Napoli, Liguori, 2008, ISBN 978-88-207-4061-0.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]