Trasformazione naturale

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In teoria delle categorie una trasformazione naturale è una freccia tra funtori "paralleli".

Funtori paralleli kf.png

che rende possibile definire la categoria \mathcal{B}^\mathcal{A} di tutti i funtori

F: \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{B}

tra due categorie \mathcal{A}, \mathcal{B} assegnate.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Siano

F: \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{B}

G: \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{B}

due funtori tra le categorie \mathcal{A} e \mathcal{B}.

Una trasformazione naturale \alpha : F \Longrightarrow G è una collezione

\{\alpha_X:FX\longrightarrow GX\}_{X\in \mathcal{A}_0}

di frecce di \mathcal{B} indiciate dagli oggetti di \mathcal{A} e tale che il seguente diagramma commuta per ogni freccia f:X\longrightarrow Y di \mathcal{A}:

Trasformazione naturale kf.png

cioè   \ Gf\cdot \alpha_X=\alpha_Y\cdot Ff.

Composizione orizzontale[modifica | modifica sorgente]

Siano date le trasformazioni naturali

\alpha:F\Longrightarrow G

\beta:H\Longrightarrow K

ove \ F, G sono funtori tra due categorie \mathcal{A}, \mathcal{B}, mentre \ H, K sono funtori tra due categorie \mathcal{B}, \mathcal{C}.

Se ne può definire la composizione orizzontale

Trasfnat composizione orizzontale kf.png

come quella trasformazione naturale \gamma=\beta\circ\alpha le cui frecce, nella categoria \mathcal{C}, siano definite in uno dei due modi equivalenti:

\gamma_X=\beta_{GX}\cdot H\alpha_X,

\gamma_X=K\alpha_X \cdot \beta_{FX}.

infatti, applicando i funtori H,K al diagramma della trasformazione naturale tra F e G otteniamo:

Trasfnat composizione orizzontale elem kf.png

Composizione verticale[modifica | modifica sorgente]

Siano date le trasformazioni naturali

\alpha:F\Longrightarrow G

\beta:G\Longrightarrow H

ove \ F, G, H sono funtori tra due categorie \mathcal{A}, \mathcal{B}.

Se ne può definire la composizione verticale

Trasfnat composizione verticale kf.png

come quella trasformazione naturale \gamma=\beta\cdot\alpha le cui frecce, nella categoria \mathcal{B}, siano definite nel modo elementare:

\gamma_X=\beta_X\cdot\alpha_X

Categoria dei funtori[modifica | modifica sorgente]

Siamo ora pronti per definire la categoria dei funtori come quella categoria \mathcal{B}^\mathcal{A} che ha per oggetti tutti i funtori F:\mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{B}, per frecce \ \gamma le trasformazioni naturali tra tali funtori e la composizione di frecce sia proprio la composizione verticale poc'anzi definita.

Esempio 1

Se \ Ins è la categoria degli insiemi e \mathcal{C}^{op} è la categoria duale di una categoria \mathcal{C} (\mathcal{C}^{op} è ottenuta invertendo tutte le frecce di \mathcal{C}), allora la categoria Ins^{\mathcal{C}^{op}} è la categoria dei prefasci su \mathcal{C}.

Esempio 2

Sia \textbf{2}=\{\bullet \longrightarrow \bullet \} la categoria con due oggetti distinti e una sola freccia tra essi. Sia \mathbb{Q} l'insieme ordinato dei numeri razionali visto come categoria ponendo i numeri come oggetti e le relazioni p \leq q come frecce p \longrightarrow q.

Si verifica che i funtori \textbf{2}^{\mathbb{Q}^{op}} sono le sezioni di numeri razionali (con l'aggiunta dell'insieme vuoto \empty e dell'intero \mathbb{Q} ). Quindi abbiamo la formula notevole:

\mathbb{R^*}=\textbf{2}^{\mathbb{Q}^{op}}

ove \mathbb{R^*} è l'insieme ordinato dei numeri reali con l'aggiunta di -\infty e +\infty.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]


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