Trasformata inversa di Laplace

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In matematica, la trasformata inversa di Laplace o antitrasformata di Laplace è l'inversa della trasformata di Laplace.

La trasformata di Laplace e la sua inversa hanno importanti applicazioni nello studio dei sistemi dinamici lineari.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Detta \mathcal{L} la trasformata di Laplace, l'antitrasformata di Laplace di una funzione F(s) è la funzione f(t) tale che:

\mathcal{L}\left\{ f(t)\right\} = F(s)

Si prova che se una funzione F(s) ha trasformata inversa f(t), ovvero f è una funzione continua a tratti che soddisfa la condizione precedente, allora f(t) è univocamente determinata.

Una formulazione integrale dell'antitrasformata di Laplace, chiamata anche integrale di Bromwich o formula inversa di Mellin, è data dall'integrale di linea:

\mathcal{L}^{-1} \{F(s)\} = f(t) = \frac{1}{2\pi i}\lim_{T\to\infty}\int_{\gamma-iT}^{\gamma+iT}e^{st}F(s)\,ds

dove l'integrazione avviene lungo la linea verticale \Re(s)=\gamma nel piano complesso, sicché \gamma è tanto grande quanto la parte reale di tutte le singolarità di F(s). Questo assicura che la linea di contorno è la regione di convergenza. Se tutte le singolarità sono della parte sinistra del piano complesso allora \gamma può essere considerata nulla e la formula diventa uguale alla trasformata di Fourier inversa.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]