Trasformata di Hilbert

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La trasformata di Hilbert è una trasformata integrale, ovvero un'applicazione, generalmente lineare, di uno spazio di funzioni su un altro spazio di funzioni, realizzata con un integrale. Le trasformate integrali sono utili per ridurre equazioni differenziali lineari a equazioni algebriche e per l'analisi dei segnali. La trasformata di Hilbert di un segnale generico 
x(t)
è definita come:


\hat{x}(t) \equiv \mathcal{H}\{ x(t) \} = x(t) * h_H(t) = \text{p.v.} \int_{-\infty}^{\infty}u(\tau) h(t-\tau)\, d\tau =\frac{1}{\pi} \ \text{p.v.} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{u(\tau)}{t-\tau}\, d\tau, t \in (-\mathcal{1}, +\mathcal{1})

dove 
\hat{x}(t)
è la funzione o segnale trasformato; 
h_H(t) \equiv \frac{1}{\pi t}
è la risposta impulsiva del filtro di Hilbert e il prefisso "p.v." indica che l'integrale deve esistere come valore principale di Cauchy. Il suo principale impiego è nel settore delle telecomunicazioni, poiché consente di adattare un segnale o funzione di t al canale di comunicazione che consente di trasmetterlo in un range o intervallo prefissato di frequenze (banda del canale di comunicazione): ciò avviene tramite lo sviluppo in componenti analogiche di bassa frequenza. Si osservi che l'operazione x(t)*y(t) è l'operazione di convoluzione tra 2 segnali x(t) e y(t).

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