Trasferimento alla Hohmann

Trasferimento alla Hohmann in cui $R'$ > $R$

In astronautica e in ingegneria aerospaziale, il trasferimento alla Hohmann ideato nel 1925 rappresenta una manovra orbitale che permette ad un satellite artificiale di trasferirsi da un'orbita circolare ad una seconda orbita circolare coplanare e cofocale alla prima. È una manovra monoellittica (in quanto nel trasferimento si percorre una semiellisse) bitangente (in quanto l'ellisse è tangente sia all'orbita iniziale che a quella finale, nei suoi punti absidali). È il trasferimento con il più basso consumo di delta-v se il rapporto tra $r_f$ ed $r_i$ è minore o uguale a 12, dove $r_i$ è il raggio dell'orbita circolare iniziale ed $r_f$ è il raggio dell'orbita circolare finale; altrimenti è più conveniente un trasferimento biellittico bitangente.

Il suo tipico utilizzo è quello che porta un satellite da una orbita terrestre bassa (LEO, Low Earth Orbit) ad una geostazionaria (GEO, Geostationary Earth Orbit). La manovra si compie in circa 5 ore, ed è chiamata GTO (Geo Transfer Orbit). Sia l'orbita iniziale che quella finale sono circolari, mentre quella che permette il trasferimento è un'orbita ellittica, coplanare e cofocale alle due circolari, che è tangente alle stesse. Nel caso del trasferimento GTO, con un primo delta-v positivo il satellite si posiziona istantaneamente al perigeo dell'orbita ellittica, mentre con un secondo delta-v positivo dato all'apogeo dell'orbita di trasferimento ellittica (punto 3 della figura) viene circolarizzata l'orbita.

Caratteristiche

• È una manovra cofocale e coplanare: le tre coniche hanno come fuoco il pianeta attrattore;
• È una manovra monoellittica: l'orbita di trasferimento è una semiellisse di semiasse $a$;
• È una manovra bitangente: i Delta-v impulsivi sono forniti dall'apparato propulsivo nei due punti absidali dell'ellisse di trasferimento, quindi le tre orbite sono tangenti;

Calcolo del trasferimento

Si considera il trasferimento alla Hohmann tra un'orbita iniziale di raggio $r_1$ ed un'orbita finale di raggio $r_2$. Può essere sia $r_2$ maggiore di $r_1$ (come ad esempio il trasferimento da un'orbita di parcheggio ad un'Orbita geostazionaria) che $r_1$ maggiore di $r_2$. La velocità sulla prima orbita circolare è in modulo, in ogni suo punto,

$v_1 = \sqrt{\mu\!\, \over r_1}$

dove $\mu\$ è la costante gravitazionale planetaria dell'attrattore. Dall'equazione di conservazione dell'energia orbitale specifica si può ricavare il modulo della velocità nello stesso punto, ma riferito all'orbita ellittica di trasferimento:

$v_{t1} = \sqrt{\mu \left( \frac{2}{r_1} - \frac{2}{r_1+r_2} \right)}$

La differenza tra il valore della velocità di trasferimento e la velocità dell'orbita circolare fornisce il valore del delta-v impulsivo

$\Delta v_A = \sqrt{\frac{\mu}{r_1}} \left( \sqrt{\frac{2 r_2}{r_1+r_2}} - 1 \right)$,

Allo stesso modo, percorsa la semiellisse di trasferimento, occorre fornire un secondo delta-v impulsivo per circolarizzare l'orbita finale su $r_2$, ovvero

$\Delta v_B = \sqrt{\frac{\mu}{r_2}} \left( 1 - \sqrt{\frac{2 r_1}{r_1+r_2}}\,\! \right)$

Il valore dei delta-v risulterà positivo se l'orbita si porta in una circolare di raggio più grande rispetto alla prima, mentre sarà negativo (in direzione) se avviene l'opposto. Naturalmente in entrambi i casi i delta-v sono forniti dall'impianto propulsivo, ed il costo della manovra risulterà la somma dei moduli dei due delta-v.

$\|\Delta v_H\|\ = \|\Delta v_A\|\ + \|\Delta v_B\|\$

Tempo di volo

Il tempo di trasferimento è ricavabile dalla Terza legge di Keplero:

$t_{tr} = \pi\sqrt{\left(r_1+r_2\right)^3/8\mu}$

$\mu\$ è la costante gravitazionale planetaria dell'attrattore.

Bibliografia

Wiley J. Larson e James R. Wertz, Space Mission Analysys and Design, El Segundo (California), 2003. ISBN 0792359011.

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