Trapezio (geometria)

Trapezio

In geometria un trapezio è un quadrilatero con due lati paralleli.

Caratteristiche

Trapezio

Facendo riferimento alla figura a fianco, i due lati paralleli $a$ e $c$ sono detti basi del trapezio, rispettivamente "base maggiore" e "base minore", mentre gli altri due lati $b$ e $d$ sono detti lati obliqui del trapezio.

La distanza $h$ fra i due lati paralleli, lunghezza di ogni segmento ortogonale che collega le basi o i loro prolungamenti, fornisce l'altezza del trapezio.

Nel caso particolare in cui anche i due lati obliqui siano paralleli si ha un parallelogramma, ossia, a seconda dei casi, un quadrato (lati uguali e angoli retti), rettangolo (lati opposti uguali e angoli retti), rombo (lati uguali ma angoli non necessariamente retti) o romboide (lati opposti uguali ma angoli non retti o, in altri termini, un parallelogramma che non sia né un quadrato, né un rettangolo né un rombo).

Se i lati obliqui non sono paralleli, essi possono essere prolungati fino ad incontrarsi in un punto, in modo da formare un triangolo che contiene il trapezio: questo è il più piccolo triangolo circoscritto al trapezio che contiene il trapezio stesso ed è unico.

Proprietà

1. Un quadrilatero è un trapezio se e solo se contiene due angoli adiacenti supplementari, tali cioè che la somma delle loro ampiezze equivalga a 180°. In questo caso anche i due angoli rimanenti sono supplementari. Tradotto in formule:

   $\alpha$ + $\delta$ = 180°

   $\beta$ + $\gamma$ = 180°

2. Consideriamo il quadrilatero ABCD e denotiamo con AB e DC i suoi lati paralleli; denotiamo inoltre con M il punto in cui si intersecano le due diagonali AC e DB. Tale quadrilatero è un trapezio se e solo se
   
   

   $\overline{AM}:\overline{CM}=\overline{BM}:\overline{DM}$

Area del trapezio

Spiegazione della formula dell'area

L'area del trapezio si può calcolare come il prodotto della semisomma (media aritmetica) delle lunghezze delle basi per l'altezza:

$A = \frac{B+b}{2} \cdot h$

Tale formula può essere spiegata se si fa riferimento alla figura a fianco: se al trapezio uniamo un altro trapezio ad esso uguale, ma capovolto sia lungo l'asse delle ascisse sia lungo l'asse delle ordinate, si nota come l'area totale dell'insieme sia data dal prodotto della somma delle basi per l'altezza. Poiché essa è il doppio di quella voluta, ossia del trapezio, ne va presa la metà.

Tipi di trapezio

Si definisce trapezio rettangolo un trapezio nel quale i due angoli adiacenti al lato perpendicolare alle basi (cioè l'altezza) sono angoli congruenti e quindi retti.

Si definisce trapezio isoscele un trapezio nel quale i due angoli adiacenti a una base sono congruenti; in questo caso sono congruenti anche i due angoli corrispondenti all'altra base. Un trapezio è isoscele se e solo se è simmetrico rispetto alla retta passante per i punti medi delle sue basi. Un trapezio è isoscele se e solo se le sue due diagonali sono congruenti. In un trapezio isoscele i due lati obliqui sono tra loro congruenti: il viceversa però non è vero, visto che in un parallelogramma generico questa proprietà è sempre verificata ma - tranne nel caso dei rettangoli - gli angoli alla base sono diversi tra loro.

Si definisce trapezio ottusangolo un trapezio che presenta un angolo ottuso adiacente alla base di lunghezza maggiore. Un trapezio è ottusangolo se e solo se il corrispondente triangolo circoscritto è un triangolo ottusangolo. Un trapezio ottusangolo non può essere isoscele.

Si definisce trapezio scaleno un trapezio con i lati di diversa lunghezza e gli angoli di diversa ampiezza: può essere fatto derivare dall'intersezione di un rettangolo con un triangolo scaleno.

Trapezio e trapezoide

Talvolta viene impropriamente usato il termine trapezoide al posto di trapezio: tale uso improprio sembra derivare dal fatto che in Nord America il trapezio viene chiamato trapezoid (a differenza della Gran Bretagna dove viene chiamato trapezium).

Il termine appropriato è invece trapezio: infatti in italiano con "trapezoide" si intende, più genericamente, un semplice quadrilatero.

Con il termine trapezoide si intende anche un trapezio il cui lato obliquo è una curva; è utilizzato nelle funzioni.

Voci correlate

• Regola del trapezio
• Formule di Newton-Cotes

Altri progetti

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