Test di Lucas-Lehmer

Il test di Lucas-Lehmer è una verifica della primalità dei primi di Mersenne. In sintesi, per $p$ numero primo, detto $M_p=2^p-1$ il $p$ -esimo numero di Mersenne, esso è primo se e solo se divide $L_{p-1}$ , dove $L_{n}$ è la successione definita ricorsivamente come:

$L_{n+1}=L_n^2-2$

a partire da

$L_1 = 4$

Il test è stato sviluppato originariamente dal matematico Edouard Lucas nel 1870 e semplificato da Derrick Norman Lehmer nel 1930. Il test è talmente rapido e facile da programmare, che nel 1978 due studenti delle superiori dimostrarono che il numero di Mersenne $2^{21701}-1$ è primo, battendo il precedente record del più grande numero primo allora conosciuto.

È possibile anche un'ottimizzazione nel tempo di calcolo, per poter trattare numeri maggiori, dato che $L_n$ cresce molto velocemente, all'aumentare di $n$ , per diventare presto intrattabile. Si può sostituire, alla successione precedente, quella specifica per il numero da verificare $M_n$ , ricavata come segue:

$L_{n+1}\equiv (L_n^2-2) \, \operatorname{mod} \, M_p$

dove mod è il modulo, ossia il resto della divisione per $M_p$ . Questa successione ha però lo svantaggio di essere utile solo per i numeri di Mersenne minori o uguali a $M_p$ .

Enunciato[modifica]

Sia p un numero primo. Il corrispondente numero di Mersenne $M_p=2^p-1$ è primo se e solo se:

$L_{p-1}\equiv 0 \,\operatorname{mod} \,M_p$

Osservazione[modifica]

Non è restrittivo considerare i numeri di Mersenne $M_p$ con $p$ primo anziché $M_n$ con $n$ numero naturale. Si dimostra infatti che se $n$ è composto, allora anche $M_n$ lo è.

Dimostrazione[modifica]

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Per la sufficienza: siano $u=2+\sqrt 3$ e $v=2-\sqrt 3$ . È facile allora mostrare per induzione che

$L_n = u^{2^{n-1}} + v^{2^{n-1}}$

Poiché $M_p$ divide $L_{p-1}$ , esiste un intero $R$ tale che

$L_{p-1} = R \, M_p$

ossia

$u^{2^{p-2}} + v^{2^{p-2}} = R \, M_p$

Moliplicando per $u^{2^{p-2}}$ , ottengo

$1)\,\,\,\,\,u^{2^{p-1}} = R \, M_p u^{2^{p-2}} -1$

Elevando al quadrato

$2)\,\,\,\,\,u^{2^p} = \left ( R \, M_p u^{2^{p-2}} -1 \right )^2$

Procediamo per assurdo. Supponiamo che $M_p$ sia composto e prendiamo un suo divisore d minore della sua radice quadrata. Sia G il gruppo dei numeri nella forma $\left ( a+b\sqrt 3 \right )\, \operatorname{mod} \, d$ che sono anche invertibili: G ha al più $d^2-1$ elementi. Se riscriviamo la 1 e la 2 modulo d, otteniamo $u^{2^{p-1}} \equiv -1 \, \operatorname{mod} \, d$ e $u^{2^p} \equiv 1 \, \operatorname{mod} \, d$ rispettivamente. Quindi u è un elemento di G di periodo $2^p$ . Dato che il periodo di un elemento può al massimo essere pari al numero degli elementi del gruppo, abbiamo la seguente disuguaglianza