Terna pitagorica

Una terna pitagorica è una terna di numeri naturali $a$, $b$, $c$ tali che $a^{2}+b^{2}=c^{2}$. Il nome viene dal teorema di Pitagora, da cui discende che ad ogni triangolo rettangolo con lati interi corrisponde una terna pitagorica e viceversa.

Se $(a,b,c)$ è una terna pitagorica, lo è anche $(da,db,dc)$, dove $d$ è un numero naturale qualsiasi. Il numero $d$ è quindi un divisore comune dei tre numeri $da$, $db$, $dc$. Una terna pitagorica si dice primitiva se $a$, $b$ e $c$ non hanno divisori comuni. I triangoli descritti da terne pitagoriche non primitive sono sempre simili a quelli descritti dalla corrispondente terna primitiva.

Esiste una formula capace di generare tutte le terne pitagoriche primitive; tali formule sono citate da Euclide (Ευκλείδης) nei suoi Elementi (τα Στοιχεία):

$a=m^{2}-n^{2}\,;\;\;b=2mn\,;\;\;c=m^{2}+n^{2}.$

Le formule di Euclide generano una terna pitagorica primitiva se e solo se $m$ e $n$ sono coprimi ed uno di loro è pari e l'altro dispari (se sia $n$ che $m$ sono dispari $a$, $b$ e $c$ sono pari, e quindi quella terna pitagorica non può essere primitiva). Tutte le terne primitive si possono ottenere in questo modo da un'unica coppia di numeri coprimi $m>n$, mentre le restanti (non primitive) si possono ottenere moltiplicando i termini di una terna primitiva per un opportuno fattore. Le formule così modificate sono quindi in grado di generare tutte le terne possibili, anche se in modo non univoco:

$a=k\cdot (m^{2}-n^{2})\,;\,b=k\cdot (2mn)\,;\,c=k\cdot (m^{2}+n^{2}).$

Una conseguenza immediata di queste formule è che le terne pitagoriche sono infinite, in quanto sono infinite le possibili scelte di $m$ e $n$.

Inoltre è facile dimostrare che il prodotto di $a$ per $b$ (dei due cateti) è sempre divisibile per $12$ $(=3\cdot 4)$, mentre il prodotto $abc$ (di tutti e tre i lati del triangolo pitagorico) è sempre divisibile per $60$ $(=3\cdot 4\cdot 5)$. Infatti modulo $3$ e modulo $4$ si hanno solo $0$ e $1$ come quadrati, quindi, se $N=3$ o $N=4$, si ha che se $m^{2}\equiv 0{\bmod {N}}$ oppure $n^{2}\equiv 0{\bmod {N}},$ allora $m\equiv 0{\bmod {N}}$ oppure $n\equiv 0{\bmod {N}}$ e quindi $b\equiv 0{\bmod {N}};$ se invece $m^{2}\equiv n^{2}\equiv 1{\bmod {N}},$ allora $a\equiv 0{\bmod {N}}.$ Di conseguenza $ab\equiv 0{\bmod {1}}2.$ Infine, poiché modulo $5$ i quadrati sono $0,\pm 1,$ se $m^{2}\equiv 0{\bmod {5}}$ oppure $n^{2}\equiv 0{\bmod {5}}$ oppure $m^{2}\equiv n^{2}\equiv 1{\bmod {5}}$ oppure $m^{2}\equiv n^{2}\equiv -1{\bmod {5}},$ ragionando analogamente si ha che $ab\equiv 0{\bmod {5}};$ se invece $m^{2}\equiv -n^{2}\equiv 1{\bmod {5}}$ oppure $m^{2}\equiv -n^{2}\equiv -1{\bmod {5}},$ allora $c\equiv 0{\bmod {5}}.$ Quindi, in tutti i casi $abc\equiv 0{\bmod {5}}$ da cui $abc\equiv 0{\bmod {6}}0.$

Terne pitagoriche con c < 100

Esistono solo 16 terne pitagoriche primitive con $c<100$:

(3, 4, 5)		(5, 12, 13)	(7, 24, 25)	(8, 15, 17)
(9, 40, 41)		(11, 60, 61)	(12, 35, 37)	(13, 84, 85)
(16, 63, 65)		(20, 21, 29)	(28, 45, 53)	(33, 56, 65)
(36, 77, 85)		(39, 80, 89)	(48, 55, 73)	(65, 72, 97)

Altri esempi di terne pitagoriche

(20, 99, 101)	(60, 91, 109)	(15, 112, 113)	(44, 117, 125)
(88, 105, 137)	(17, 144, 145)	(24, 143, 145)	(51, 140, 149)
(85, 132, 157)	(119, 120, 169)	(52, 165, 173)	(19, 180, 181)
(57, 176, 185)	(104, 153, 185)	(95, 168, 193)	(28, 195, 197)
(84, 187, 205)	(133, 156, 205)	(21, 220, 221)	(140, 171, 221)
(60, 221, 229)	(105, 208, 233)	(120, 209, 241)	(32, 255, 257)
(23, 264, 265)	(96, 247, 265)	(69, 260, 269)	(115, 252, 277)
(160, 231, 281)	(161, 240, 289)	(68, 285, 293)

Un buon punto di partenza per l'esplorazione delle terne pitagoriche è quello di riscrivere l'equazione originale in questo modo:

$a^{2}=c^{2}-b^{2}=(c-b)(c+b)$.

È interessante notare che ci possono essere più terne pitagoriche primitive con lo stesso intero minore. Il primo esempio è con il 20, che è il più piccolo intero di due terne primitive: 20, 21, 29 e 20, 99, 101.

Al contrario, il numero 1 229 779 565 176 982 820 è l'intero minore in esattamente 15 386 terne primitive; la più piccola e la più grande fra queste sono:

1 229 779 565 176 982 820
1 230 126 649 417 435 981
1 739 416 382 736 996 181

e

1 229 779 565 176 982 820
378 089 444 731 722 233 953 867 379 643 788 099
378 089 444 731 722 233 953 867 379 643 788 101.

Per i curiosi, si consideri la fattorizzazione:

1 229 779 565 176 982 820 = 2² × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 × 29 × 31 × 37 × 41 × 43 × 47.

Il numero di fattori primi è collegato alla gran quantità di terne pitagoriche primitive. Si noti che ci sono interi più grandi che sono gli interi più piccoli di un numero ancora più grande di terne primitive.

L'ultimo teorema di Fermat afferma che non esistono terne non banali analoghe a quelle pitagoriche ma con esponenti maggiori di $2$ (cioè che l'equazione $a^{n}=b^{n}+c^{n}$ non ammette soluzioni intere se $n>2$; a parte, come detto, i casi banali in cui almeno uno dei numeri è uguale a zero).

Un legame tra terne pitagoriche e primi gemelli può essere stabilito tramite la derivata aritmetica. Infatti un semiprimo i cui fattori primi siano due primi gemelli può essere espresso come $n=p(p+2)$, la sua derivata aritmetica come $n'=2(p+1)$ e ${\sqrt {n^{2}+n'^{2}}}=(p+1)^{2}+1=p(p+2)+2=n+2$. Questi numeri sono fra loro coprimi e perciò costituiscono una terna pitagorica primitiva.

Ciascun numero naturale maggiore di 2 appartiene almeno a una terna pitagorica e ogni numero primo può appartenere al più a 2 terne (in quest'ultima situazione una volta come cateto e una volta come ipotenusa del triangolo rettangolo cui si riferisce).

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Collegamenti esterni

• (EN) Pythagorean triple / Pythagorean number, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Terna pitagorica, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Sequenza A210503, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.

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