Teoria delle ombre

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Rappresentazione di un solido e della sua ombra

La teoria delle ombre è una parte della geometria descrittiva che si occupa di rappresentare, oltre ad un solido, l'ombra prodotta dal solido rispetto ad alcune fonti di luce.

La teoria dell'ombra, è uno dei argomenti più completi e fondamentali della geometria descrittiva. la sua osservazione in natura permette allo studente architetto di comprendere la maggior parte dei concetti della geometria descrittiva. Quali le classificazioni dei metodi di proiezione, i problemi di incidenza, la corrispondenza biunivoca … ecc.

L'ombra prodotta da un solido viene rappresentata come la proiezione del solido rispetto ad una stella di rette (l'equivalente nello spazio del fascio di rette). Per fonti di luce puntiformi si considera la stella di rette avente centro in quel punto; per fonti di luce "a distanza infinita" si considera la stella di rette parallele definita dal corrispondente punto a infinito. I due casi rappresentano, approssimativamente, le ombre generate rispettivamente da una lampada e dal Sole.

La parte della superficie di un solido K non rivolta verso la fonte di luce è l'ombra propria di K; le linee che separano la parte in ombra propria da quella in luce, si dicono "separatrici di ombra" di K. La proiezione delle separatrici di ombra di K su un altro oggetto, dal centro di proiezione in questo caso coincidente con la sorgente luminosa, si dice "ombra portata" di K. Si dice ombra autoportata se tale proiezione cade sulla stessa superficie di K.

Ombre prodotte da una sorgente propria fanno riferimento al metodo delle proiezioni centrali (prospettiva)
Ombre prodotte da una sorgente impropria è una proiezioni parallela (Assonometria)

Con riferimento ai tipi di proiezioni, l’ombra di un oggetto può essere prodotta da una sorgente naturale, approssimativamente impropria, e quindi può essere paragonata alle proiezioni parallele, o può essere paragonata alle proiezioni centrali se la sorgente luminosa è artificiale, cioè prodotta da un punto proprio.

Con riferimento ai problemi di incidenza, l’ombra di un oggetto può essere interpretata come incidenza tra i diversi enti geometrici (tra retta piano, tra piani, o tra superficie e piano). Ovvero l’ombra può essere interpretata come incidenza di un ente di luce (retta, piano o superficie) passante per un ente oggettivo (punto, retta, figura) con l’ente che riceve l’ombra (superficie piana o curva).

Casi principali[modifica | modifica sorgente]

Applicazione delle ombre nei metodi di Monge e in assonometria cavaliera militare
  • l'ombra di un punto P su di un piano alfa, si determina come punto d'intersezione del raggio luminoso l passante per il punto P con il piano che riceve l'ombra alfa.
  • l'ombra di una retta r su un piano alfa, si determina come retta d'intersezione del piano di luce λ passante per la retta r con il piano che riceve l'ombra alfa.
    • Quando r è verticale e alfa orizzontale, l'ombra r* di r coincide con la prima proiezione del raggio luminoso (o con l'immagine della prima proiezione di r, nel caso della prospettiva o in alcuni tipi di assonometria, come la cavaliera).
    • quando r è parallela ad alfa, risulta r* // r
    • quando r coincide con un raggio luminoso, r* è un punto
    • quando r appartiene ad alfa, r* coincide con r

Inoltre da ricordare che per determinare l'ombra di r su alfa occorrono due punti ombra di r su alfa. Si tenga presente che il punto d'intersezione di r con alfa coincide con la sua ombra, per cui il più delle volte si va a determinare tale punto per ottenere uno dei due punti ombra citati. Il secondo punto ombra, di r su alfa, si determina come punto d'intersezione del raggio luminoso passante per un punto di r con alfa.

Esempi impliciti[modifica | modifica sorgente]

  • l'ombra di una conica delta su un piano alfa, può essere interpretata
  • come sezione piana di un cilindro quadrico, quando si ha una sorgente impropria, in tal caso i raggi luminosi fungono da generatrici per il cilindro;
    Ombra di un cerchio su un piano, può essere determinata, al di la dello strumento di disegno utilizzato, come intersezione del cilindro luminoso avente come base tale cerchio e come generatrici i raggi luminosi passanti per i punti della stessa circonferenza
  • come sezione piana di un cono quadrico quando la sorgente è propria. In entrambi i casi, appena citati, la conica delta funge da base sia per il cilindro sia per il cono.
  • L'ombra di una conica Delta su una quadrica non degenere K, in generale viene interpretata come una quartica intersezione tra un cono luminoso avente come base la conica Delta, con la superficie K che riceve l`ombra.

Esempi espliciti[modifica | modifica sorgente]

Ombra di un punto su una superficie sferica[modifica | modifica sorgente]

Ombra propria e portata di una sfera e l'ombra di un punto su di essa, in assonometria cavaliera militare

Ombra propria e portata di una sfera e l'ombra di un punto su di essa, in assonometria cavaliera militare

Una volta che abbiamo finito di rappresentare la sfera in assonometria cavaliera militare ( vedi figura ) e anche il punto P, e stabilita la direzione del raggio luminoso l e la sua prima proiezione l1, passiamo a determinare in ordine:

  • l'ombra del punto P sulla sfera
  • l'ombra propria e portata della sfera
  • L'ombra di un punto P su una sfera si determina come intersezione del raggio luminoso passante per P con sfera. A tale fine si fa passare per il punto P il piano di luce λ, la prima traccia di λ coincide con la prima proiezione l1 del raggio luminoso l,
  • Si determina la sezione circolare Θ tra λ e la sfera. Ma dato che Θ appartiene ad un piano non parallelo al quadro, la sua immagine assonometrica è un'ellisse. La costruzione del quale esige di diversi costruzioni geometriche, per evitare i quali sfruttando la coincidenza tra il quadro con il primo piano di proiezione, conviene eseguire una proiezione ortogonale su un piano verticale parallelo al piano λ e poi eseguire il ribaltamento sul quadro in modo da poter disegnare la circonferenza Θ in vera forma e misura. A tale fine, si stabilisce la linea di terra parallela alla prima traccia di λ; si proiettando i punti d'intersezione della circonferenza equatoriale delta con t'λ, che rappresentano il diametro della circonferenza-sezione Θ. si proietta anche il raggio luminoso l per poter individuare il punto P*2 come intersezione delle proiezione l2 e Θ2, e poi si raddrizza tale punto P*2 e si porta in assonometria per individuare l'ombra P* di P sulla sfera.
  • Per determinare l'ombra propria della sfera, si tiene in considerazione il fatto che la separatrice di ombra Σ della sfera, appartiene ad un piano alfa ortogonale al raggio luminoso e passante per il centro della sfera. A tale fine, nella proiezione ausiliaria, si fa passare una retta m2 perpendicolare alla seconda proiezione l2 del raggio luminoso l. La retta m rappresenta la retta di massima pendenza di alfa. Il punto d'intersezione M2 della retta m2 con il contorno apparente della sfera, rappresenta il punto di massima quota della separatrice d'ombra Σ. Il quale può raddrizzato e portato in assonometria. Individuando così il punto M che rappresenta in assonometria un estremo di uno dei due diametri coniugati della separatrice Σ. L'altro diametro g passa per C ed è perpendicolare alla prima proiezione m1 di m.

Una volta che si ha due diametri coniugati di un'ellisse Σ, è facile determinarvi gli assi e costruirla (vedi procedimento).

  • Per determinare l'ombra portata della sfera, si stabilisce un piano oggettivo δ su cui poggia la sfera nel punto F (estremo inferiore dell'asse a della sfera), e si procede a determinare l'ombra m* g* dei due diametri coniugati della separatrice Σ. che in questo caso rappresentano anche gli assi dell'ellisse Σ* ombra di Σ.

vale la pena dire che l'ombra portata della sfera sul piano delta corrisponde all'intersezione di questo piano delta con un cilindro di rotazione che ha come sezione retta la separatrice d'ombra Σ ed ha come asse il raggio luminoso passante per il centro della sfera.

Ombra di un punto su una superficie conica[modifica | modifica sorgente]

Ombra di un punto su un cono di rotazione

l'ombra di un punto P su una superficie si determina come punto d'intersezione P* del raggio luminoso l passante per P con la superficie. Nel caso di una superficie conica, la determinazione del punto d'intersezione P* (ombra di P) si ottiene assumendo un piano passante per il raggio luminoso l e che seziona il cono K secondo una conica (eventualmente degenere). Dato che esistono infiniti piani che passano per il raggio l e che sezionano il cono, e poiché secondo il tipo di conica risultante da tale sezione, e secondo lo strumento di disegno utilizzato (o meglio il metodo di disegno), la costruzione della conica-sezione può essere più o meno laboriosa.

In tutti i casi occorre insegnare quei concetti base della geometria, finalizzati a determinare delle sezioni semplici che sono in questo caso le generatrici del cono. A maggior ragione, questi concetti sono tecnicamente indispensabili in tutti quelle operazioni di disegno che non offrono soluzioni immediate o meglio automatiche come nel disegno 2d, nella modellazione wireframe e nella modellazione superfici. A tale proposito e con riferimento al software AutoCAD, occorre sottolineare il fatto che solo nella modellazione solida è possibile ottenere in automatico qualsiasi tipo di sezioni con il solo operazione di specificare i tre punti che individuano il piano di sezione (che nel caso specifico corrisponde al piano di luce λ).

Invece nei altri detti metodo di disegno (modellazione wireframe e superfici), la determinazione delle coniche come sezioni di un cono, richiede tanti costruzioni geometriche che possono avere risultati più o meno precisi secondo lo strumento utilizzato.

In generale per ottenere dei risultati precisi, nei metodi di disegno non automatici, occorre finalizzare le costruzioni alla determinazione dei punti notevoli della coniche-sezioni. Per esempio nel caso dell'ellisse-sezione tali punti sono gli estremi dell'asse maggiore e minore.

Nel disegno tradizionale (riga e compasso), il risultato è quasi sempre approssimativo, dato che il numero dei punti della conica da costruire è quasi sempre limitato. In generale, il disegno 2d. come noto ha lo svantaggio di non permettere di modificare la posizione del punto di vista, dato che esso è già una proiezione. Per cui questo tipo di disegno occorre definire scegliere in quale metodo di rappresentazione operare e poi una volta che sono stati rappresentati gli elementi elementi in questione (in questo caso riguardano il cono, il punto P, il raggio luminoso l) si procede alla soluzione del problema, in questo caso l'individuazione del piano luminoso passante per l e sua la sezione col cono.

A tale proposito, Nella modellazione wireframe e nella modellazione superfici, esiste una fase sola quella di costruzione finalizzata alla soluzione del problema, dato che le rappresentazione del problema avviene in modo automatico da qualsiasi punto di vista.

Con il fine di evitare la determinazione di una conica che richiede delle costruzione geometriche laboriose, occorre sapere che è possibile sezionare il cono in modo da ottenere una sezione semplice, rappresentata in questo caso da due rette.

In generale la sezioni più semplici di una superficie conica (incluso il cilindro come caso particolare di cono) si ottiene con un piano passante per il vertice di tali superfici. Ottenere questi tipi di sezioni contribuisce, nei disegni non automatici, a produrre dei disegni più precisi e di facile lettura.

Comunque, al di là del metodo di disegno utilizzato. Il problema in generale può essere formulato così: quale è la giaciture del piano (in questo caso di luce) passante per una retta (raggio luminoso L passante per P) che sezione un cono K seconde due generatrici. Questa domanda trova risposta nel fatto che i piani secanti il cono e passanti per il suo vertice, lo sezionano secondo due generatrici. Tecnicamente, occorre individuare il piano-sezionante mediante due rette complanari. I quali possono avere in comune un punto proprio (in nostro caso può essere P) o un punto improprio ciò è la direzione parallela ad l. Nel nostro caso, dato che si tratta di determinare l'ombra di P sul cono, una di tali rette è il raggio luminoso l. La seconda retta può essere la parallela al raggio l passante per il vertice del cono. Inoltre occorre sapere che le generatrici sezione di un piano λ con il cono, sono individuati, oltre dal vertice, anche da due punti della base del cono. Per determinare tali punti, occorre determinare la retta d'intersezione di λ con il piano della base di K. Dato che la base del cono appartiene a al primo piano di proiezione pigreco1, tale retta è la prima traccia di λ. l'intersezione della prima traccia di λ con la base di K, individua due punti, dove passano le dette generatrici del cono. Ovvero la sezione del cono con il piano λ passante per il punto P.

Una volta che siamo riuscito a determinare una sezione semplice del cono, è sufficiente individuare il punto d'intersezione P* (ombra di P) del raggio luminoso passante per P con una di queste due generatrici per ottenere l'ombra di P sul cono K.

Conclusione[modifica | modifica sorgente]

La sezione semplice del cono è formata da due rette, che si ottengono con un piano passante per il vertice del cono. La differenza del metodo adottato non debba escludere questo concetto importante che debba essere insegnato allo studente. Il caso che abbiamo affrontato riguardava l'ombra di un punto, ma questo concetto può essere adottato per risolvere altri problemi come quelli di incidenza, di rappresentazione, di misura ecc. Come ad esempio la determinazione della distanza di un punto da una superficie conica K. In questo caso, la soluzione consiste nel determinare una retta passante per r e per P e in modo che sia ortogonale alla superficie conica. Dato che l'angolo retta si misura tra due rette complanari, occorre sezionare il cono con un piano passante per r e per il vertice di K per ottenere una di tali rette.

Quindi la parte più importante da sottolineare in questa o in altri operazioni di costruzioni geometriche per risolvere un determinato problema geometrico è il concetto. Certo che l'applicazione di tale concetto secondo il metodo utilizzato può essere più o meno complesso. Senza sapere i concetti base della geometria descrittiva, è difficile poter risolvere i problemi anche più banali, pur avendo a disposizione degli strumenti di disegno più sofisticati. Con questo non voglio escludere la potenza degli strumenti informatici di disegno, anzi vorrei sottolineare il loro ruolo nel facilitare l'applicazione dei vari concetti di disegno e soprattutto i loro nuovo modo di insegnamento.

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