Teoria cinetica dei gas

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La temperatura di un gas ideale monoatomico è direttamente proporzionale all'energia cinetica media dei suoi atomi. In questo caso è riprodotto in scala il comportamento di atomi di Elio ad una pressione 2\cdot 10^9\ Pa e una temperatura di 2\cdot 10^{-7}\ K

La teoria cinetica dei gas descrive un gas come un gran numero di piccole particelle (atomi o molecole) che sono in costante movimento casuale. Le particelle muovendosi urtano tra di loro e con le pareti del contenitore. La teoria cinetica dei gas spiega le principali proprietà dei gas quali pressione, temperatura e volume. Il fatto rilevante della teoria è la spiegazione che la pressione non è dovuta alla repulsione statica delle molecole come ipotizzato da Isaac Newton, ma all'urto contro le pareti delle particelle.

Mentre le particelle che compongono i gas sono troppo piccole per essere visibili, il movimento casuale dei grani di polline o di polvere, che può essere osservato con un microscopio ottico (moto browniano), deriva direttamente dalle collisioni con le particelle elementari che compongono il gas. Nel 1905 Albert Einstein correlò il moto browniano all'esistenza di atomi e molecole che a quell'epoca erano ancora una ipotesi.

Modello[modifica | modifica sorgente]

La teoria cinetica si basa sull'assunzione di alcune ipotesi:

  1. Le molecole di cui sono composti i gas sono considerate come punti materiali in moto casuale e a distribuzione uniforme nello spazio che seguono l'ipotesi del caos molecolare. Esse collidono tra loro e con le pareti del recipiente con urti perfettamente elastici.
  2. Il numero delle molecole è grande cosicché si possano usare metodi statistici.
  3. Il volume totale delle molecole dei gas è trascurabile rispetto al volume del contenitore.
  4. L'interazione tra le molecole è trascurabile, eccetto durante l'urto tra di loro che avviene in maniera impulsiva.
  5. Le molecole sono perfettamente sferiche
  6. Gli effetti relativistici e quantistici sono trascurabili.

Le ipotesi precedenti descrivono accuratamente il comportamento dei gas ideali. I gas reali si avvicinano all'ideale sotto condizioni di bassa densità o alta temperatura (lontani dalla condensazione).

Pressione[modifica | modifica sorgente]

Urto elastico di una particella contro la parete del recipiente

La pressione è spiegata dalla teoria cinetica come conseguenza delle forze esercitate dalle collisioni delle molecole del gas con le pareti del recipiente. Consideriamo dunque una molecola di massa m che urta contro la parete del recipiente come in figura. Sappiamo che essa trasmette alla parete un impulso che è uguale alla differenza della quantità di moto della particella prima e dopo l'urto. Inoltre per l'ipotesi 1 l'urto è elastico e si conserva sia la quantità di moto totale del sistema che l'energia:

\vec I = \Delta \vec q = \vec q_f - \vec q_i
\frac{1}{2} m \vec v^{2} = \frac{1}{2} m \vec v'^{2}

Dall'esempio in figura l'unica componente che varia è la direzione della velocità, quindi la quantità di moto lungo y e l'energia (cinetica) restano uguali. La componente lungo x resta uguale in modulo. Allora avremo:

m v_y = m v_{y}^{'}; \; \; \; m v_x = - m v_{x}^{'}

quindi:

\Delta \vec q_x = - m v_x - m v_x = -2 m v_x

Possiamo ora stimare la forza media che la molecola esercita sulla parete. La particella considerata collide con la parete una volta ogni 2L/vxunità di tempo, dove L è la lunghezza del contenitore (tragitto della particella). La forza risultante esercitata dalla parete sulla particella è:

\overline{f^m} = \frac{\Delta q}{\Delta t} = \frac{-2 m v_x}{\Delta t}
{\Delta t} = \frac{2L}{v_x}

quindi:

\overline{f_{x}^{m}} = - \frac{m v_{x}^{2}}{L}

Per il terzo principio della dinamica questa forza ha segno opposto a quella che la molecola imprime sulla parete. La forza totale esercitata dal gas sulla parete è quindi la somma di tutte le forze esercitate dalle molecole:

F_x = \frac{m}{L} \sum_{i = 1}^{N} v_{ix}^{2}

Definiamo il valore quadratico medio della velocità lungo x, come media dei quadrati delle velocità lungo la direzione x per tutte le molecole (N):

 \overline{v_{x}^{2}} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} v_{ix}^2

si ottiene:

F_x = \frac{m N} L \overline{v_{x}^{2}}

La pressione lungo la direzione x è allora:

p = \frac{F_x}{S} = \frac{F_x}{L^2}= \frac{m}{L^3} N \cdot \overline{v_{x}^2}

N è il numero di particelle che è uguale anche a: N = n \cdot N_A, dove N_A = 6.022 \cdot 10^{23} è il numero di Avogadro e n è il numero di moli del gas, inoltre L^3 = V. Quindi possiamo riscrivere la pressione lungo x come:

p = \frac{m}{V} n \cdot N_A \cdot \overline{v_{x}^2}

Poiché per definizione m \cdot N_A = M dove M è la massa molare, allora abbiamo un altro modo di scrivere la pressione:

p = \frac{n \cdot M \cdot \overline{v_{x}^2}}{V}

Per ipotesi il gas ha distribuzione uniforme quindi le velocità:

\overline{v_{x}^{2}} = \overline{v_{y}^{2}} = \overline{v_{z}^{2}} = \frac{1}{3} \overline{v^{2}}

Definiamo la velocità quadratica media come:

v_{rms}^2 = \overline{v^{2}}

Di conseguenza, per la pressione otteniamo:

p = \frac{M \cdot n \cdot v_{rms}^2}{3 V}

Questa equazione per la pressione (così come quella precedente) mette in relazione la velocità delle molecole con la pressione che esse esercitano sul recipiente. Vedremo nella sezione successiva come la velocità stessa sia influenzata dalla temperatura. Utilizzando l'equazione di stato dei gas perfetti: p V = n R T, dove R è la costante del gas perfetto, pari a 8,3143 J/(mol × K), possiamo estrapolare una stima della velocità quadratica media:

v_{rms}^2 = \frac{3 R T}{M}

Da quest'ultima si deduce che la velocità delle molecole è direttamente proporzionale alla radice quadrata della temperatura e dipende ovviamente dalla massa molare delle molecole.

Energia cinetica[modifica | modifica sorgente]

L'energia cinetica media di una molecola del gas è:

\overline{K} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2} m v_{i}^{2}

Dal momento che tutte le particelle hanno la stessa massa, possiamo riferire la sommatoria esclusivamente alla velocità \overline{v_i^2} ed utilizzare la definizione della velocità quadratica media. Ne segue che:

\overline{K} =\frac{1}{2}m\cdot\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\overline{v_i^2}= \frac{1}{2} m \cdot \overline{v^2} =\frac{1}{2} m \cdot v_{rms}^{2}

utilizzando la relazione trovata precedentemente per la velocità quadratica media, possiamo scrivere:

\overline{K} = \frac{1}{2} m \cdot \frac{3 R T}{M}

ricordando che m / M= 1/N_A e che R / N_A = k_B dove k_B = 1,38 \cdot 10^{-23} \, J/K è la costante di Boltzmann abbiamo:

\overline{K} = \frac{3RT}{2N_A} = \frac{3}{2} k_B T

ovvero la temperatura è una misura dell'energia cinetica media delle molecole. Questa formula, come quella precedente per la pressione, mette in relazione una grandezza microscopica come l'energia cinetica delle particelle di gas e una grandezza macroscopica come la loro temperatura.

Energia interna[modifica | modifica sorgente]

Possiamo determinare l'energia interna del gas che rappresenta l'energia di tutte le molecole, che appare nel primo principio della termodinamica. Essa è quindi data dall'equazione:

U = N \cdot \overline{K} = n \cdot N_A \frac{3}{2} k_B \cdot T

Poiché N_A \cdot k_B = R allora:

U = \frac{3}{2} n \cdot R \cdot T

valido per un gas monoatomico, poiché in generale non si è tenuto conto dei contributi dell'energia dovuti agli effetti vibrazionali e rotazionali. Ancora una volta vediamo come l'energia interna sia dipendente solamente dalla temperatura che a sua volta dipende dal tipo di molecola e dalla sua velocità.

Cenni storici[modifica | modifica sorgente]

Frontepizio del trattato di Bernouilli

Nel 1738 D. Bernouilli pubblicò Hydrodynamica, che pose le basi della teoria cinetica dei gas. In questo lavoro Bernouilli fece l'ipotesi, ancora utilizzata, che i gas consistono di un gran numero di molecole che si muovono in tutte le direzioni, che il loro impatto sulle superfici causa la pressione macroscopica e che quello che chiamiamo temperatura è semplicemente dovuto all'energia cinetica del loro moto. La teoria non fu immediatamente accettata, anche a causa del fatto che ancora non erano state poste le fondamenta per la conservazione dell'energia e non era ovvio ai fisici che la collisione tra le molecole fosse perfettamente elastica.

Altri lavori pioneristici, trascurati dai contemporanei furono nel 1700 Mikhail Lomonosov,[1], poi Georges-Louis Le Sage[2]. Nella prima metà dell'Ottocento John Herapath[3] fornisce un importante contributo. Nel 1856 August Krönig formulò un modello semplice della cinetica dei gas, considerando solo la componente traslazionale del moto[4]. Nel 1857 Rudolf Clausius indipendentemente da Krönig, come lui stesso dichiara, sviluppò una versione più sofisticata della teoria che includeva movimenti rotazionali e vibrazionali delle molecole. In questo stesso lavoro compare per la prima volta il concetto di cammino libero medio di una particella[5]. Nel 1859, dopo avere letto l'articolo di Clausius James Clerk Maxwell formulò[6] quella che va sotto il nome di Distribuzione di Maxwell delle velocità, tale formulazione permettono di calcolare la percentuale di molecole che hanno le velocità in un intervallo specifico. Questa è la prìma volta che delle leggi statistiche appaiono in fisica, inoltre Maxwell collega la pressione agli urti delle molecole. Nel 1871 Ludwig Boltzmann rese più generale la formulazione di Maxwell e formulò quella che va sotto nome di Distribuzione di Maxwell-Boltzmann e per primo stabilì la connessione tra l'entropia e il logaritmo delle possibili configurazioni nello spazio delle fasi. All'inizio del ventesimo secolo, molti fisici consideravano gli atomi come delle particelle ipotetiche, si deve ad Albert Einstein[7] ed a Marian Smoluchowski[8] un contributo significativo alla comprensione del moto browniano basato sulla teoria cinetica dei gas.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ M, Lomonosov, Mikhail Vasil'evich Lomonosov on the Corpuscular Theory, Cambridge-Harvard University Press(1758/1970) [1]
  2. ^ G. L. Le Sage, Deux Traites de Physique Mécanique, Paschoud ed. Paris 1818 [2]
  3. ^ J. Herapath, On the physical properties of gases, Annals of Philosophy 56-60 (1816) [3]
  4. ^ A. Krönig 1856, Grundzüge einer Theorie der Gase, Annalen der Physik, 99, 315 (1856) [4]
  5. ^ R. Clausius, Ueber die Art der Bewegung, welche wir Wärme nennen, Annalen der Physik, 176, 353 (1857) [5]
  6. ^ J. C. Maxwell, Molecules, Nature 417, 903 (1873)
  7. ^ A. Einstein, Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen, Annalen der Physik, 17, 549, (1905)[6]
  8. ^ M. Smoluchowski, Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen, Annalen der Physik, 21, 756 (1906) [7]

Approfondimenti[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]