Teorema fondamentale dell'aritmetica

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Il teorema fondamentale dell'aritmetica afferma che

Ogni numero naturale maggiore di 1 o è un numero primo o si può esprimere come prodotto di numeri primi. Tale rappresentazione è unica, se si prescinde dall'ordine in cui compaiono i fattori.

L'enunciato è facilmente verificabile per numeri naturali "piccoli": è facile scoprire che 70 è pari a 2×5×7 e 100 equivale a 2×2×5×5 ovvero 22×52, è altrettanto facile verificare che per questi numeri non possono esistere altre scomposizioni in fattori primi.

Il teorema fu dimostrato esplicitamente per la prima volta da Gauss nelle Disquisitiones Arithmeticae;[1] Euclide, negli Elementi, insieme all'esistenza della fattorizzazione[2], aveva dimostrato una proposizione, oggi nota come lemma di Euclide[3], dalla quale si ricava la proprietà di fattorizzazione unica.

Nella teoria degli anelli, la validità della proprietà espressa dal teorema costituisce la definizione stessa di anello a fattorizzazione unica.

Dimostrazione del teorema[modifica | modifica wikitesto]

L'enunciato del teorema asserisce l'esistenza di una fattorizzazione in numeri primi per ogni numero naturale, e successivamente la sua unicità. Dimostriamo separatamente le due affermazioni.

Dimostrazione dell'esistenza[modifica | modifica wikitesto]

Dalla definizione di numero primo si deduce che ogni numero maggiore o uguale a 2 o è un numero primo oppure si può esprimere come prodotto di numeri primi. Questo fatto si può dimostrare per induzione:

  • n=2 è primo, quindi soddisfa quanto enunciato.
  • Supponendo vero l'enunciato per tutti i numeri da 2 a n, dimostriamo che vale anche per n+1. Per n+1 ci sono due possibilità: o è primo oppure è divisibile per un numero a compreso tra 2 e n. Nel caso in cui n+1 sia divisibile per a per l'ipotesi induttiva o a è primo oppure a ha un divisore primo p. In quest'ultimo caso (per la proprietà transitiva della divisibilità) p è anche un divisore di n+1. In ogni caso dunque o n+1 è primo o è divisibile per un primo.

La dimostrazione dell'esistenza della fattorizzazione per ogni numero procede ancora per induzione:

  • n=2 è primo e dunque è già banalmente fattorizzato.
  • Supponiamo vera l'esistenza di una fattorizzazione per tutti i naturali compresi tra 2 e n e dimostriamola vera anche per n+1. Considerando n+1, abbiamo due casi: n+1 è primo (e quindi è già fattorizzato) oppure n+1 è divisibile per un primo p (come dimostrato nella prima parte); in quest'ultimo caso il numero m=(n+1)/p è minore di n+1, e quindi verifica l'ipotesi induttiva, ovvero esiste una fattorizzazione di m. Ma allora n+1=mp cioè n+1 è fattorizzabile (è il prodotto di m e p).

Quindi l'esistenza di una fattorizzazione è dimostrata per ogni numero naturale n.

Dimostrazione dell'unicità[modifica | modifica wikitesto]

Dimostriamo che se un numero ammette una fattorizzazione in numeri primi questa è unica.

Per assurdo: Si supponga che esistano dei numeri scomponibili in fattori primi in più di un modo, e si chiami m il più piccolo (che esiste per il principio del buon ordinamento). Innanzitutto si dimostra che, date due fattorizzazioni di m, i numeri primi che si presentano nella prima fattorizzazione sono tutti distinti da quelli della seconda fattorizzazione. Siano infatti [1] e [2] le due diverse fattorizzazioni di m

\left[ 1 \right] \quad m = p_1 p_2 p_3 \dots p_s
\left[ 2 \right] \quad m = q_1 q_2 q_3 \dots q_t

dove i p_i e i q_j sono primi ma differenti tra loro, ovvero \forall i,j \;\; p_i \neq q_j (se ci fosse un fattore identico p_h=q_k possiamo ricondurci al caso indicato dividendo m per tale fattore e ottenendo un numero m' < m che avrebbe anch'esso due fattorizzazioni distinte). All'interno di ogni fattorizzazione ci possono comunque essere fattori ripetuti: ad esempio, 100 = 2×2×5×5.

A questo punto sappiamo che p_1 è diverso da q_1; senza perdita di generalità possiamo supporre che p_1 < q_1. Poniamo allora

\left[ 3 \right] \quad n = (q_1-p_1)q_2 q_3\dots q_t

Evidentemente, n < m, dato che la \left[ 3 \right] si può scrivere come

 \left[ 4 \right] \quad n = q_1 q_2 q_3 \dots q_t - p_1 q_2 q_3 \dots q_t = m - p_1 q_2 q_3 \dots q_t < m\;.

Dimostriamo ora che n ammette almeno due fattorizzazioni distinte.

Iniziamo considerando il primo fattore di n, q_1-p_1. Esso può essere primo o meno; nel caso non lo fosse lo fattorizzeremo e la nuova fattorizzazione di n così ottenuta non ammetterebbe p_1 tra i suoi fattori. Infatti, per la prima parte della dimostrazione sappiamo che p_1 è diverso da q_2, q_3, \dots q_t e non può comparire nella eventuale fattorizzazione di q_1-p_1, poiché se ciò accadesse significherebbe che

q_1-p_1= p_1\cdot b \Rightarrow q_1 = p_1(1+b)

e quindi q_1 sarebbe divisibile per p_1, il che non è possibile in quanto q_1 è un numero primo.

Prendendo ora l'ultima uguaglianza della \left[ 4 \right] e sostituendo m con la \left[ 1 \right] otteniamo

 \left[ 5 \right] \quad n= p_1p_2p_3\dots p_s-p_1q_2q_3\dots q_t \Rightarrow  n = p_1(p_2p_3\dots p_s- q_2q_3\dots q_t)

In qualunque modo sia fattorizzabile il secondo fattore nella  \left[ 5 \right] , avremo ottenuto una fattorizzazione di n che contiene p_1 e che pertanto è diversa da quella nella  \left[ 3 \right] , contrariamente all'ipotesi che m sia il numero più piccolo che ammette più di una fattorizzazione.

L'unicità è pertanto dimostrata.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Carl Benjamin Boyer, Storia della matematica, Milano, Mondadori, 1990, p.582, ISBN 978-88-04-33431-6.
  2. ^ Libro VII, Proposizioni 31 e 32.
  3. ^ Libro VII, proposizione 30

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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