Teorema fondamentale dell'algebra

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Il teorema fondamentale dell'algebra asserisce che ogni polinomio di grado n \ge 1 (non costante), a coefficienti reali o complessi del tipo:

a_nz^n+ \ldots +a_1z + a_0

ammette almeno una radice reale o complessa. Dal teorema segue che il polinomio ammette precisamente n radici, contate con la loro molteplicità.

Storia[modifica | modifica sorgente]

Un'enunciazione del teorema in una pubblicazione fu opera del matematico di origine fiamminga Albert Girard nel 1629 nel libro L'invention en algebre, per quanto anticipata da una formulazione debole da parte di Peter Roth, riportata nei suoi Arithmetica Philosophica (1608).[1] Non vi era comunque alcuna dimostrazione. Nel 1702 Leibniz sostenne di aver trovato un controesempio con il polinomio x^4+1. Nel 1742 Nicolas Bernoulli e Christian Goldbach in una lettera inviata allo stesso Leibniz dimostrarono l'esistenza di radici complesse del polinomio.[2]

Il primo tentativo serio di dimostrazione del teorema fu operato da d'Alembert nel 1746, il quale però utilizzò un teorema non ancora dimostrato (la dimostrazione fu fatta da Puiseux nel 1751 utilizzando lo stesso teorema fondamentale dell'algebra). Altri tentativi di dimostrazione furono portati avanti nel 1749 da Eulero, Lagrange nel 1772, Laplace nel 1795.

Finalmente nel 1799 Gauss riuscì nell'intento sfruttando i tentativi dei suoi predecessori. Infine, nel 1814 Jean-Robert Argand, un libraio appassionato di matematica, pubblicò un'altra dimostrazione molto più semplice rispetto a quella di Gauss.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Polinomi a coefficienti reali[modifica | modifica sorgente]

Un numero reale è un particolare numero complesso: il teorema è quindi valido per ogni polinomio a coefficienti reali. Ad esempio, si consideri il polinomio

p(z) = z^2+1

Questo polinomio non ammette nessuna radice reale: i numeri reali non formano un campo algebricamente chiuso. Per il teorema fondamentale dell'algebra, il polinomio ha però una radice complessa: questa è l'unità immaginaria z=i. Infatti:

p(i) = i^2+1 = -1+1 = 0

Questa non è però l'unica radice. Il polinomio ha grado due ed ha due radici complesse i e -i.

Dimostrazioni[modifica | modifica sorgente]

Esistono numerose dimostrazioni del teorema fondamentale dell'algebra che coinvolgono settori molto diversi della matematica come la topologia, l'analisi complessa e l'algebra.

Dimostrazione basata sullo sviluppo in serie di Taylor[modifica | modifica sorgente]

Sia p(z) un polinomio a coefficienti complessi di grado n \geq 1. Abbiamo \lim_{|z| \to +\infty} |p(z)| = +\infty quindi esiste r > 0 tale che |p(z)| > |p(0)| per ogni z \in \mathbb{C} tale che |z| > r. Il disco chiuso D_r := \{z \in \mathbb{C} : |z| \leq r \} è compatto dunque per il teorema di Weierstrass esiste un punto z_0 \in D_r in cui |p(z)| assume il suo minimo valore assoluto in D_r, proviamo che |p(z_0)| = 0. Sviluppando p(z) in serie di Taylor intorno a z_0 abbiamo

\forall z \in \mathbb{C} \; : \quad p(z) = a_0 + a_k (z - z_0)^k + a_{k+1}(z - z_0)^{k+1} + \cdots + a_n (z-z_0)^n

dove a_0 = p(z_0), k \geq 1 è intero e a_k, a_{k+1}, \ldots, a_n \in \mathbb{C} con a_k \neq 0, notare che la serie di Taylor è finita poiché f^{(m)}(z_0) = 0 per ogni intero m > n essendo p(z) un polinomio di grado n. Quindi p(z) = a_0 + a_k (z-z_0)^k + R(z) dove R(z) = o((z-z_0)^{k+1}) per z \to z_0. Per ogni \varepsilon > 0 possiamo scegliere z \in \mathbb{C} di modo che a_k (z-z_0)^k = -\varepsilon a_0, in tal caso quando \varepsilon \to 0^+ allora z \to z_0 quindi per \varepsilon sufficientemente piccolo avremo |R(z)| = |o((z-z_0) \varepsilon a_0 / a_k)| < \tfrac1{2}\varepsilon a_0, pertanto |p(z)| \leq |(1-\varepsilon)a_0| + |R(z)| < (1-\tfrac1{2}\varepsilon)|a_0| < |p(z_0)|, assurdo.

Dimostrazione basata sull'analisi complessa[modifica | modifica sorgente]

Sia p(z) un polinomio complesso, tale che p(z)\neq 0 per ogni z complesso. Allora la funzione

 f(z)=\frac{1}{p(z)}

è una funzione intera, cioè è una funzione olomorfa su tutto \mathbb{C}. D'altra parte

\lim_{|z|\to +\infty} |p(z)|=+ \infty

implica

\lim_{|z|\to +\infty} |f(z)|=0

e quindi la funzione f(z) è limitata. Per il teorema di Liouville f(z) è costante, da cui segue che anche p(z) è costante.

Quindi gli unici polinomi senza zeri sono i polinomi costanti.

Dimostrazione topologica[modifica | modifica sorgente]

Consideriamo un polinomio a coefficienti complessi non costante

P(z)=a_n z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\ldots+a_1 z+a_0

vogliamo dimostrare che esiste un punto \alpha tale che P(\alpha)=0. A tale scopo possiamo considerare il caso in cui a_n=1.

Supponiamo per assurdo che P non ammetta radici, cioè che l'origine non sia nella sua immagine. Consideriamo sul piano complesso la circonferenza di centro l'origine e raggio r parametrizzata da

\gamma_r(t)=r e^{it}

Il polinomio P rappresenta una funzione continua del piano complesso in se stesso e come tale manderà la circonferenza \gamma_r in una curva piana parametrizzata P(\gamma_r). La curva così ottenuta non passerà per l'origine dal momento che abbiamo assunto che 0 non è nell'immagine di P, e questo qualunque sia il raggio r. Quindi possiamo considerare l'indice di avvolgimento di P(\gamma_r) rispetto all'origine I(P(\gamma_r),0)

Poniamo

\Phi(r)=I(P(\gamma_r),0),\,!

Poiché l'indice di avvolgimento non varia per deformazioni della curva tali che questa non tocchi mai l'origine (è un invariante omotopico) la funzione \Phi(r) sarà continua e poiché l'indice assume solo valori interi dovrà anche essere una funzione costante.

Ora consideriamo il valore di \Phi(r) per due differenti valori di r:

  • per r=0 la curva \gamma_r è costituita da un unico punto (l'origine) e la sua immagine sarà quindi anch'essa un unico punto che non può essere l'origine. In questo caso evidentemente si ha che I(P(\gamma_0),0)=\Phi(0)=0.
  • per r abbastanza grandi affinché si abbia
    r>1, \quad r>|a_{n-1}|+...+|a_0|
abbiamo che la curva P(\gamma_r) può essere deformata con continuità nella curva \gamma^n_r definita da
t \mapsto r^n e^{int}
immagine di \gamma_r mediante la funzione polinomiale z^n. Poiché l'indice di questa curva rispetto all'origine è n e per l'invarianza omotopica possiamo dedurre che \Phi(r)=n.
Tfa.svg
Per dimostrare questo osserviamo che finché z si trova nella circonferenza |z|=r vale la seguente catena di disuguaglianze:
|P(z)-z^n|=|a_{n-1}z^{n-1}+...+a_1 z+a_0|
\leq |a_{n-1}||z|^{n-1}+...+|a_1| |z|+|a_0|
 = |a_{n-1}|r^{n-1}+...+|a_1| r+|a_0|
 < r^{n-1}(|a_{n-1}|+...+|a_1|+|a_0|)
 < r^{n-1}\cdot r =r^n=|z^n|
questo significa che fintanto che z si trova sulla circonferenza di raggio r la distanza che separa il punto P(z) della curva immagine dal punto z^n è minore di quella che separa il punto z^n dall'origine, dunque il segmento che congiunge P(z) a z^n non tocca l'origine per ogni z in \gamma_r e questo permette di definire una deformazione continua di P(\gamma_r) in \gamma^n_r che non faccia passare la curva per l'origine.

Il fatto che \Phi(r) assuma valori differenti per differenti raggi contradice il fatto che deve essere una funzione costante, e siamo quindi giunti ad un assurdo da cui concludiamo che l'ipotesi che P non avesse nessuna radice è impossibile.

Campi algebricamente chiusi[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Campo algebricamente chiuso.

Si dice che il campo complesso \mathbb{C} è un campo algebricamente chiuso per indicare il fatto che ogni polinomio di grado maggiore o uguale a 1, a coefficienti complessi, ha almeno una radice in \mathbb{C}, come stabilisce il teorema qui esposto. Tale proprietà non è condivisa dai sottocampi \mathbb{Q} ed \mathbb{R} come si può vedere subito considerando i polinomi

x^2-2

che non ha radici nel campo \mathbb{Q} dei razionali, e

x^2+1

che non ha radici nel campo \mathbb{R} dei reali.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Il teorema fondamentale dell’algebra, Università di Pavia. URL consultato il 27 ottobre 2013.
  2. ^ Una breve storia del Teorema Fondamentale dell'Algebra (TFA), Università di Bari. URL consultato il 27 ottobre 2013.

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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