Teorema di rappresentazione dei numeri reali

In matematica, il teorema di rappresentazione dei numeri reali o teorema di rappresentazione in base consente di rappresentare un numero reale utilizzando numeri interi.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema afferma che dato un numero reale $x$ e un numero intero $\beta$ , detto base, si può rappresentare $x$ come:

x=\operatorname {sgn} (x)(c_{1}\beta ^{-1}+c_{2}\beta ^{-2}+\dots +c_{p}\beta ^{-p})\beta ^{p}=\operatorname {sgn} (x)\beta ^{p}\sum _{i=1}^{p}c_{i}\beta ^{-i}=\operatorname {sgn} (x)m\beta ^{p}

dove:

$\operatorname {sgn} (x)$ è la funzione segno:

\operatorname {sgn} (x)=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{se }}x>0\\0,&{\mbox{se }}x=0\\-1,&{\mbox{se }}x<0\end{matrix}}\right.

Il numero intero $p$ è detto esponente o caratteristica di $x$

I numeri interi $c_{i}$ sono detti cifre, con $0\leq c_{i}\leq \beta -1$ . Nel caso di rappresentazione normalizzata $c_{1}\neq 0$ , mentre nel caso in cui esista un indice $k$ tale che $c_{k}\neq 0{\mbox{ e }}c_{i}=0$ per $i>k$ la rappresentazione si dice rappresentazione finita di lunghezza $k$ .

Il numero:

m=\sum _{i=1}^{p}c_{i}\beta ^{-i}\qquad {\frac {1}{\beta }}\leq m<1

è detto mantissa di

x

, mentre

\beta ^{p}

è detta parte esponente di

x

.

Se si scartano le rappresentazioni in cui si abbia, definitivamente in $i$ , $c_{i}=\beta -1$ , e se $x\neq 0$ la rappresentazione normalizzata è unica.

Il numero reale $x$ può essere rappresentato nella base $\beta$ attraverso la notazione posizionale o la notazione mista. Ad esempio, il numero reale $\alpha$ di nome quattrocentocinque rappresentato in base $\beta =10$ diventa: