Teorema della base di Hilbert

Il teorema della base di Hilbert, dimostrato da David Hilbert per la prima volta nel 1888, sostiene che se $A$ è un anello noetheriano, allora l'anello dei polinomi $A[x]$ è noetheriano.

Procedendo ricorsivamente, si dimostra che anche $A[x_1, \dots, x_n]$ è un anello noetheriano. In particolare, se $A$ è un campo algebricamente chiuso, il risultato è importante in geometria algebrica poiché permette di ricavare che ogni ideale dell'anello è generato da un numero finito di elementi.

Dimostrazione

Sia $I \leq A[x]$ un ideale; per assurdo, se $A[x]$ non fosse noetheriano si potrebbe costruire una successione di polinomi $(p_i)_{i \in \N}$ tali che per ogni $i$ positivo si abbia:

• $p_i \in I \setminus (p_0, \dots, p_{i-1})$;
• $\mathrm{deg}(p_i) = \min\{\mathrm{deg}(p) | p \in I \setminus (p_0, \dots, p_{i-1})\}.$

Si consideri l'ideale $(a_i) \leq A$ generato dai coefficienti direttori dei polinomi; poiché $A$ è noetheriano, esistono degli elementi tali che $(a_i) = (b_1, \dots, b_s)$. In generale, $b_j$ non è un coefficiente direttore di un $p_i$, tuttavia ognuno è dato da una combinazione lineare degli $a_i$, dato che $b_j \in (a_i)$, quindi si può pensare che $(a_i)$ sia generato dai primi $r$ elementi, cioè $(a_i) = (a_0, \dots, a_{r-1})$.

Ora, si costruisca il polinomio $q = \sum_{i = 0}^{r-1} e_i p_i x^{d_r - d_i}$, dove $\sum_{i=0}^{r-1} e_i a_i = a_r$ e $d_i = \mathrm{deg}(p_i)$; $q$ è un polinomio di grado $d_r$ e coefficiente direttore $a_r$, appartenente all'ideale $(p_0, \dots, p_{r-1})$. Sottraendolo a $p_r$ si ottiene un polinomio in $I \setminus (p_0, \dots, p_{r-1})$ di grado minore di $d_r$ e ciò contrasta con la scelta della successione.

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