Teorema di Wiener-Khinchin

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Il teorema di Wiener–Khinchin (anche noto come teorema di Wiener–Khintchine e talvolta come teorema di Wiener–Khinchin–Einstein) afferma che la densità spettrale di energia di un segnale corrisponde alla trasformata di Fourier dell'autocorrelazione del segnale stesso.

In formule, si esprime:


R_{X}(\tau)=\int_{-\infty}^\infty S_{X}(f)e^{+j2\pi f\tau} \ df = \mathcal{F}^{-1} \{ S_{X}(f) \}

Per segnali di energia, quindi, la densità spettrale di energia si può definire come la trasformata di Fourier dell'autocorrelazione del segnale, che si dimostra essere uguale al modulo dell'ampiezza della trasformata di Fourier del segnale, elevata al quadrato. Per segnali di potenza, invece, si definisce densità spettrale di potenza la trasformata di Fourier dell'autocorrelazione del segnale.

Wiener–Khinchin per i segnali deterministici di Energia[modifica | modifica wikitesto]

La trasformata di Fourier dell'autocorrelazione di un segnale deterministico di energia è la Densità Spettrale di Energia (ESD)

Dimostrazione del Teorema


\mathcal{F} \{ R_{X}(\tau) \}=\mathcal{F} \left\{ \int_{-\infty}^\infty y(t) y^{*}(t-\tau) \ dt \right\}

per la proprietà della convoluzione si ha che


\mathcal{F} \{ y(\tau)*y^{*}(-\tau) \} = Y(f) Y^{*}(f) = |Y(f)|^2 = \mathcal{E}(f)

Wiener–Khinchin per i segnali deterministici di Potenza[modifica | modifica wikitesto]

La trasformata di Fourier dell'autocorrelazione di un segnale deterministico di potenza è la Densità Spettrale di Potenza (PSD)

Dimostrazione del Teorema

Wiener–Khinchin per i segnali aleatori di Energia[modifica | modifica wikitesto]

La trasformata di Fourier dell'autocorrelazione di un segnale aleatorio di energia è la Densità Spettrale di Energia (ESD)

Dimostrazione del Teorema

Wiener–Khinchin per i segnali aleatori di Potenza[modifica | modifica wikitesto]

La trasformata di Fourier dell'autocorrelazione di un segnale aleatorio di potenza è la Densità Spettrale di Potenza (PSD)

Dimostrazione del Teorema

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