Teorema di Tijdeman

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In teoria dei numeri, il teorema di Tijdeman afferma che esistono al più un numero finito di coppie di potenze consecutive. In altri termini, l'insieme delle soluzioni in x, y, n, m dell'equazione diofantea esponenziale

y^m = x^n + 1,

con gli esponenti n ed m maggiori di 1, è finito.

Il teorema fu dimostrato dal teorico dei numeri olandese Robert Tijdeman nel 1976, e fornì un grande slancio per la ricerca di una dimostrazione della congettura di Catalan, conclusasi con Preda Mihăilescu. Il teorema di Mihăilescu afferma che esiste una sola soluzione, ossia 3^2=2^3+1.

La condizione che le potenze siano consecutive è essenziale per la dimostrazione di Tijdeman; il problema più generale di determinare il numero di soluzioni di

y^m = x^n + k,

con n ed m maggiori di 1 e k intero positivo, è ancora irrisolto. Si congettura che il numero di soluzioni sia finito per ogni k; ad esempio, la sua finitezza sarebbe una conseguenza della congettura abc.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

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