Teorema di Schwarz

Il teorema di Schwarz è un importante teorema in analisi matematica, che afferma che (sotto opportune ipotesi) l'ordine con il quale vengono eseguite le derivate parziali in una derivata mista di una funzione a variabili reali è ininfluente.

Il teorema in due variabili

Sia

$f : \Omega \subseteq \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}$

una funzione in due variabili, definita su un aperto Ω del piano $\mathbb{R}^{2}$. Se f ammette derivate seconde miste continue ($f\in \mathcal{C}^2(\Omega)$) allora queste coincidono in ogni punto p, cioè

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \equiv \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ .

In altre parole, invertendo l'ordine di derivazione di una doppia derivazione parziale mista, il risultato non cambia.

Dimostrazione

Sia

$p = (x_0, y_0) \in \Omega \,$.

Scegliamo due reali $\varepsilon \,$ , $\delta > 0 \,$ tali che $(x_0 - \varepsilon, x_0 + \varepsilon) \times (y_0 - \delta, y_0 + \delta) \subset \Omega \,$. Ciò è possibile, poiché $\Omega \,$ è un aperto di $\mathbb{R}^2 \,$.

Definiamo due funzioni $F \,$ e $G \,$ come segue:

$F : (-\varepsilon, \varepsilon) \subset \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \,$,

$G : (-\delta, \delta) \subset \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \,$,

in modo che

$F(t) = f(x_0 + t, y_0 + s) - f(x_0 + t, y_0) \qquad \forall s \in (-\delta, \delta) \,$,

$G(s) = f(x_0 + t, y_0 + s) - f(x_0, y_0 + s) \qquad \forall t \in (-\varepsilon, \varepsilon) \,$.

Si prova facilmente che, fissati $t \,$ e $s \,$ nei rispettivi intervalli:

$F(t) - F(0) = G(s) - G(0) \,$.

Inoltre, applicando due volte il teorema di Lagrange:

$F(t) - F(0) = t F'(\xi_1) = t \left[ \frac{\partial f}{\partial x} (x_0 + \xi_1, y_0 + s) - \frac{\partial f}{\partial x} (x_0 + \xi_1, y_0) \right] =$

$= t s \frac{{\partial}^2 f}{\partial y \partial x} (x_0 + \xi_1, y_0 + \sigma_1) \,$,

e analogamente

$G(s) - G(0) = s t \frac{{\partial}^2 f}{\partial x \partial y} (x_0 + \xi_2, y_0 + \sigma_2) \,$,

con $\xi_i \in (0, t) \,$ , $\sigma_i \in (0, s) \,$, dove, per comodità di scrittura, si sono assunti $t, s > 0 \,$.

Facendo tendere $t \,$ e $s \,$ a $0 \,$ (e quindi anche $\xi_i \,$ e $\sigma_i \,$) si ha la tesi.

Esempio

Sia

f(x,y) = x²y² + y³x.

Entrambe le derivate parziali prime sono continue. Risulta rispettivamente

f_x = 2xy² + y³

f_y = 2yx² + 3xy²;

queste due funzioni sono ulteriormente derivabili e le derivate miste sono

f_xy = 4xy + 3y²

f_yx = 4xy + 3y².

Quindi f_xy = f_yx.

Conseguenze

Se una funzione ha derivate parziali continue, la sua matrice hessiana è simmetrica.

Necessità delle ipotesi

L'ipotesi di continuità delle derivate parziali è in effetti necessaria. Si consideri ad esempio la funzione

$f(x,y)=\left\{\begin{matrix} xy \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, & \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 \setminus \ (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{matrix}\right.$

Abbiamo

$f_x (x,y) = y \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} + xy \frac {2x (x^2+y^2) - 2x (x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}$

$f_y (x,y)= - \left(x \frac {y^2-x^2}{x^2+y^2} + xy \frac{2y (x^2+y^2) - 2y (y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^2}\right).$

Quindi

$f_{xy} (0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f_x (0,k) - f_x (0,0)}{k} = -1; f_{yx} (0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f_y (h,0) - f_y (0,0)}{h} = +1$

e dunque $f_{xy} \ne \ f_{yx}$.

Infatti in questo esempio manca la continuità di entrambe le derivate miste.

Bibliografia

• N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi matematica due, Liguori, 1996, ISBN 8820726750.

Voci correlate

• Equazione di Laplace
• Equazioni di Cauchy-Riemann

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