Teorema di Sarkovsky

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Il teorema di Sharkovsky è un risultato di estrema importanza nello studio delle orbite periodiche di un sistema dinamico discreto. Il suo risultato sorprendente è molto raffinato ed elegante: il teorema afferma che se abbiamo un sistema dinamico in cui la funzione di iterazione f sia continua su un intervallo reale I, allora se il sistema descritto dalla coppia I,f ammette un'orbita di periodo s, ammette anche le orbite di periodo k con k più piccolo di s nell'ordinamento di Sharkovsky.

Ordinamento di Sharkovsky[modifica | modifica wikitesto]

Si dice ordinamento di Sharkovsky dei numeri naturali il seguente:

1\prec2\prec2^2\prec2^3\prec\cdots\prec2^2\cdot7\prec2^2\cdot5\prec2^2\cdot3\prec\cdots\prec2\cdot7\prec2\cdot5\prec2\cdot3\prec\cdots\prec7\prec5\prec3.

dove il simbolo \prec al posto di < indica appunto che l'ordinamento è diverso da quello usuale.

In questo ordinamento abbiamo tutte le potenze di 2 in ordine crescente, poi abbiamo tutte le potenze di 2 in ordine decrescente a fattore con tutti i numeri dispari in ordine decrescente. Notiamo che ogni numero naturale compare una e una sola volta all'interno dell'ordinamento di Sharkovsky. Dunque è un ordinamento totale sui numeri naturali.

Commenti[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema di Sharkovsky afferma dunque che se non esiste un'orbita 8-periodica, non può esistere nessuna orbita all'infuori di quella 2-periodica e di quella 4-periodica. In particolare, se non esistono orbite 2-periodiche, non vi saranno orbite di alcun periodo. D'altro canto, la'esistenza di un'orbita di periodo 3 garantisce l'esistenza di orbite di ogni periodo! Questo fa capire come possa essere complicato il comportamento di un sistema dinamico in cui sia presente l'orbita 3-periodica.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Vediamo di dimostrare un caso particolare: sappiamo che esiste l'orbita 3-periodica e vogliamo dimostrare che esistono orbite di ogni periodo. Siano dunque a, b e c i tre punti dell'orbita e supponiamo che f(a)=b, f(b)=c, f(c)=a (l'altro caso è totalmente analogo).

Premettiamo due lemmi di carattere generale sulle funzioni continue:

Lemma 1 (teorema del punto fisso di Brouwer): sia f una funzione continua. Se esiste un intervallo I tale che f(I) contenga I, allora esiste almeno un punto fisso in I, cioè esiste almeno un p appartenente a I tale che f(p)=p.
Lemma 2: sia f una funzione continua. Se esistono due intervalli U e V tali che f(U) contenga V, allora esiste un intervallo U_0 contenuto in U tale che f(U_0)=V.

Dimostriamo innanzitutto l'esistenza di un'orbita 1-periodica, cioè un punto fisso. Chiamiamo I_0 l'intervallo [a,b] e I_1 l'intervallo [b,c]. Poiché f(b)=c e f(c)=a, per il teorema dei valori intermedi f(I_1) contiene [a,c] e dunque contiene I_1. Ma allora per il lemma 1 esiste sicuramente un punto fisso per f all'interno di I_1.

Sia dunque n>1 e n diverso da 3. Vogliamo dimostrare l'esistenza di un'orbita di minimo periodo n. Per fare questo costruiamo una famiglia di intervalli J_n tale che:

(1)\ I_1=J_0\supset J_1\supset J_2\cdots\supset J_n

(2)\ f(J_k)=J_{k-1}\qquad per\ k=1,\ldots,n-2

(3)\ f^k(J_k)=I_1

(4)\ f^{n-1}(J_{n-1})=I_0

(5)\ f^n(J_n)=I_1

Prima di dimostrare che questi intervalli esistono, vediamo come ci possono aiutare a dimostrare l'esistenza dell'orbita n-periodica. Anzitutto la (5) implica che f(J_n) contiene J_n e dunque, per il lemma 1, esiste un punto fisso p per l'iterata n-esima che per costruzione sta in I_1. Questo però non è detto che appartenga ad un'orbita di minimo periodo n (a meno che n non sia primo), poiché se n è pari, ogni punto di un'orbita 2-periodica, appartiene anche all'orbita n-periodica.

Notiamo che p non può coincidere con c; infatti se così fosse, poiché f(p)=f(c)=a e dato che l'unica iterata che consente di uscire dall'intervallo I_1 è la (n-1)-esima, avremmo che n=2, contraddicendo l'ipotesi che c faccia parte dell'orbita 3-periodica. Ma p non può nemmeno essere uguale a b, poiché f^2(p)=f^2(b)=a implicherebbe, per lo stesso motivo di prima, n=3, ma per ipotesi abbiam deciso di considerare n diverso da 3. Dunque p appartiene all'intervallo aperto (b,c). Ma poiché f^{n-1}(p) appartiene a I_0, abbiamo che p è diverso da f^{n-1}(p), poiché appartengono a due intervalli disgiunti. ne segue che p non può appartenere ad un'orbita (n-1)-periodica. Se poi il periodo fosse strettamente minore di n-1, la (3) implicherebbe che l'orbita deve rimanere sempre all'interno di I_1, ma la (4) ci dice che questo è impossibile. Dunque il minimo periodo cell'orbita cui p appartiene è n.

Ci resta da dimostrare l'esistenza degli intervalli J_k. Per costruirli poniamo J_0=I_1. Perciò f(J_0) contiene I che contiene J_0 e per il lemma 2 esiste dunque un intervallo J_1 contenuto in J_0 tale che f(J_1)=J_0. Ma f(J_1)=J_0 e J_0 contiene J_1 implicano l'esistenza di un intervallo J_2 contenuto in J_1 tale che f(J_2)=J_1 e così via fino a J_{n-1}. In questo modo la (1) e la (2) sono verificate. Per la (3) osserviamo che f^k(J_k)=f^{k-1}(f(J_k))=f^{k-1}(J_{k-1}) e a cascata si giunge a f^k(J_k)=J_0=I_1. Per la (4) osserviamo che f^{n-1}(J_{n-2})=f(f^{n-2}(J_{n-2}))=f(I_1)=I che contiene I_0; dunque, per il lemma 2, esiste un intervallo J_{n-1} contenuto in J_{n-2} tale che f^{n-1}(J_{n-1})=I_0. Similmente per la (5), poiché f^n{J_{n-1}}=f(f^{n-1}(J_{n-1}))=f(I_0) che contiene I_1, deduciamo, sempre grazie al lemma 2, che esiste un intervallo J_n tale che f^n(J_n)=I_1.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]