Teorema di Rao-Blackwell

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In statistica, il teorema di Rao-Blackwell descrive una tecnica che consente di trasformare uno stimatore notevolmente grossolano in uno stimatore ottimale sotto il criterio dello scarto quadratico medio, o sotto una varietà di criteri analoghi. Il teorema prende il nome dagli statistici C.R. Rao (che lo dimostrò nel 1945) e David Blackwell (che lo dimostrò indipendentemente nel 1947).

Definizioni e concetti preliminari[modifica | modifica wikitesto]

Enunciato e dimostrazione del teorema[modifica | modifica wikitesto]

Una prima formulazione del teorema di Rao-Blackwell è:

Lo scarto quadratico medio di uno stimatore di Rao-Blackwell è minore o uguale a quello dello stimatore originale, ossia:
\ \textrm{E}[(\delta_{1}(X)-\vartheta)^{2}]\leq\textrm{E}[(\delta(X)-\vartheta)^{2}]

Una formulazione più generale è la seguente:

Data una generica funzione di perdita \ L(\cdot), la perdita attesa di uno stimatore di Rao-Blackwell non eccede quella dello stimatore originale, ossia:
\ \textrm{E}[L(\delta_{1}(X))]\leq\textrm{E}[L(\delta(X))]

È chiaro come la prima formulazione sia un caso particolare della seconda, per una funzione di perdita quadratica; in effetti, una funzione di perdita può essere una qualsiasi funzione convessa.

La tesi della seconda formulazione (e dunque quella della prima, per il caso particolare in cui la funzione di perdita sia quadratica) segue immediatamente dalla disuguaglianza di Jensen; con riferimento alla prima formulazione, è inoltre interessante osservare che essa può essere dimostrata osservando che, per una generica variabile casuale \ Y:

\ 0\leq\textrm{var}(Y)=\textrm{E}(Y^{2})-[\textrm{E}(Y)]^{2}

così che \ \textrm{E}(Y^{2})\geq[\textrm{E}(Y)]^{2}, e che \ \delta_{1}(X)=\textrm{E}[\delta(X)|T(X)] (le proprietà del valore atteso sono conservate nel caso del valore atteso condizionato).

La legge delle aspettative iterate assicura inoltre che lo stimatore di Rao-Blackwell è uno stimatore corretto se lo è anche lo stimatore originale.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • D.C. Boes, F.A. Graybill, A.M. Mood (1988), Introduzione alla Statistica, McGraw-Hill Libri Italia, ISBN 88-386-0661-7, un testo di riferimento per i fondamenti della statistica matematica; il teorema di Rao-Blackwell è trattato nei capitoli suoi metodi di ricerca degli stimatori e sulle loro proprietà.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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