Teorema di Norton

Il teorema di Norton si applica alle reti elettriche e afferma che una rete elettrica composta da generatori di tensione, corrente e resistori con due terminali di uscita è equivalente a un generatore reale di corrente in parallelo con una resistenza.

Il circuito Norton equivalente viene generalmente utilizzato per modellizzare generatori e batterie.

Il teorema fu pubblicato nel 1926 da Edward Lawry Norton, ingegnere dei Bell Labs.

Enunciato

Generatore di corrente equivalente

Una rete lineare tra i nodi A e B è equivalente a un generatore normale di corrente la cui corrente impressa $J_{eq}$ è pari alla corrente di cortocircuito $I_{cc}$ della rete alla porta AB e la cui conduttanza $G_{eq}$ è pari alla conduttanza interna $G_{1}$ alla stessa porta AB, ovvero al rapporto tra corrente di cortocircuito $I_{cc}$ e tensione a vuoto $U_{0}$ alla porta AB:

• $J_{eq}= I_{cc}$
• $G_{eq}= G_i = {I_{cc} \over U_0}$

Con conduttanza si intende il reciproco della resistenza $G = {1 \over R}$. Questo teorema può essere applicato nei casi in cui è possibile cortocircuitare i morsetti di uscita, quindi è possibile definire una corrente di cortocircuito $I_{cc}$ (un generatore ideale di tensione non avrà mai un equivalente di Norton).

Teorema di Norton simbolico

Afferma che una rete simbolica tra i nodi A e B è equivalente un generatore normale simbolico di corrente la cui corrente impressa simbolica $\bar{ J_{eq}}$ è pari al fasore di corrente di cortocircuiti $\bar{I_{cc}}$ e la cui ammettenza$\dot{ Y_{eq}}$ è pari all'ammettenza Interna $\dot{ Y_{i}}$ della rete alla porta AB, ovvero al rapporto tra cortocircuito$\bar{I_{cc}}$ e la tensione a vuoto $\bar{U_{0}}$ alla porta AB:

• $\bar{J_{eq}}= \bar{I_{cc}}$
• $\dot{Y}_{eq}= \dot{Y}_i = { \bar{I_{cc}} \over \bar{U_0}}$

con ammettenza interna $\dot{Y}_i$ si intende l'ammettenza risultante tra i morsetti A e B quando la rete è resa passiva, essendo stati azzerati tra i morsetti i suoi generatori ideali simbolici di tensione di corrente (sono posti uguali a zero tutti i fasori delle tensioni impresse e delle correnti impresse).

Calcolo del circuito equivalente

Il circuito originale.
Calcolo della corrente equivalente di uscita.
Calcolo della resistenza.
Il circuito equivalente.

Si consideri ad esempio il circuito in figura, per calcolare il circuito equivalente di Norton si deve calcolare il valore di Icc e di Zeq. Per il calcolo della Icc si procede nel seguente modo:

1. Si cortocircuitano i terminali di uscita.
2. Si calcola la corrente I che attraversa il cortocircuito. Questa sarà la corrente equivalente Icc.

Per il calcolo della Zeq invece:

1. Disattivare tutti i generatori indipendenti (è importante non disattivare i generatori controllati). Disattivare un generatore di tensione significa sostituirlo con un corto circuito; disattivare un generatore di corrente significa sostituirlo con un circuito aperto. Se si tratta di generatori reali, le resistenze interne non andranno toccate.
2. Si calcola l'impedenza tra i terminali di uscita. Questa sarà l'impedenza equivalente Zeq. Il calcolo della Zeq può essere effettuato con serie e parallelo quando è possibile. Se nel circuito sono presenti generatori controllati, reti 2-porte etc... allora il calcolo della Req dovrà essere effettuato con l'ausilio di un generatore esterno (si calcola Zeq come il rapporto V/I di un generatore applicato ai morsetti A e B).

Il circuito equivalente sarà dunque composto da un generatore ideale di corrente I in parallelo ad una impedenza Z, ai capi del quale stanno i terminali di uscita.

Nell'esempio riportato nelle figure qui a fianco, la corrente I si calcola come segue:

$I_\mathrm{tot} = {15 \mathrm{V} \over 2\,\mathrm{k}\Omega + (1\,\mathrm{k}\Omega \| (1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega))} = 5.625 \mathrm{mA}$

$I = {1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega \over (1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega)} \cdot I_\mathrm{tot} = 3.75 \mathrm{mA}$

E la resistenza equivalente R sarà:

$R = 1\,\mathrm{k}\Omega + (2\,\mathrm{k}\Omega \| (1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega)) = 2\,\mathrm{k}\Omega$

Cosicché il circuito equivalente di Norton sarà un generatore di corrente di 3.75 mA in parallelo a una resistenza da 2 kΩ.

Voci correlate

• Teorema di Thévenin

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