Teorema di Noether

In matematica e fisica, il teorema di Noether, il cui nome è dovuto a Emmy Noether, afferma che secondo il principio di località ad ogni simmetria differenziabile dell'azione di un sistema fisico corrisponde una quantità conservata. Il teorema fu dimostrato nel 1915 e pubblicato nel 1918.

Introduzione

Nel caso più semplice si può considerare un punto materiale in una dimensione con posizione $q(t)$ e velocità $\dot q = dq/dt$, descritto dalla lagrangiana $L(q,\dot q)$. La quantità di moto $p = dL / d \dot q$ del punto materiale e la forza $F= dL / dq$ agente su di esso sono legate dall'equazione di Eulero-Lagrange:

$F = \dot p$

che costituisce l'equazione del moto del sistema. Si supponga di traslare la posizione del punto da $q$ a $q'$ con una trasformazione spaziale parametrizzata dalla variabile $s$, ovvero $q'=q(s)$. Se la lagrangiana rimane inalterata in seguito alla trasformazione allora la sua derivata rispetto a $s$ è nulla:

$\frac {d}{ds}L(q(s),\dot q(s))=0$

Il teorema di Noether afferma che allora la quantità $J = p \ dq(s)/ds$ si conserva, cioè $\dot J=0$. Si dice che $J$ è una costante del moto.

In uno spazio in n dimensioni il punto materiale ha una posizione $\mathbf q = (q_1,\dots,q_n)$, e se la lagrangiana non dipende da una qualche variabile $q_i$ le equazioni di Eulero-Lagrange:

$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) = \frac{\partial L}{\partial q_i}$

mostrano che $\partial L / \partial {q}_i = 0$ implica che la quantità $p_i = \partial L / \partial \dot{q}_i$ si conserva, avendo derivata temporale nulla. Quando la lagrangiana è invariante rispetto ad una trasformazione spaziale che coinvolge una o più variabili si dice che essa possiede una o più simmetrie.

Il teorema di Noether si può enunciare dicendo che se il sistema ha una proprietà di simmetria continua allora vi sono delle corrispondenti quantità il cui valore rimane costante nel tempo. Il ruolo delle equazioni di Eulero-Lagrange nella descrizione matematica e nella dimostrazione del teorema rispecchia il fatto che l'evoluzione di un sistema fisico è caratterizzata dal principio variazionale di Hamilton, secondo il quale un oggetto che si muove nello spazio delle fasi compie un percorso che minimizza l'integrale rispetto al tempo della lagrangiana. Questo integrale è l'azione, e per ogni simmetria dell'azione vi è una legge di conservazione.

Enunciato

Il teorema afferma che ad ogni simmetria differenziabile su uno o più campi generata da azioni locali corrisponde una corrente conservata, detta corrente di Noether.

Il termine "simmetria", in particolare, si riferisce alla covarianza della forma assunta da una legge fisica rispetto ad un gruppo di Lie di trasformazioni che soddisfano determinate condizioni. La quantità conservata il cui fluire attraverso una superficie di integrazione costituisce la corrente di Noether è talvolta detta carica di Noether.

L'azione è definita come un operatore integrale nel tempo tra gli istanti iniziale e finale dell'evoluzione del sistema:

$\mathcal{S} = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal L \, dt$

dove l'integrando $\mathcal L$ è la lagrangiana. Si supponga che l'azione sia invariante per piccole perturbazioni $\delta t$ e $\delta \mathbf{q}$ della variabile temporale $t$ e delle coordinate generalizzate $\mathbf{q}$:

$t \rightarrow t^{\prime} = t + \delta t \qquad \mathbf{q} \rightarrow \mathbf{q}^{\prime} = \mathbf{q} + \delta \mathbf{q}$

Si assuma, ai fini di rendere la trattazione generale, che vi siano $N$ possibili simmetrie dell'azione, ovvero $N$ possibili trasformazioni che lasciano inalterata l'azione. Allora la perturbazione risultante può essere scritta come una somma (una combinazione lineare) di pertururbazioni relative ad ogni singola tipologia:

$\delta t = \sum_r \varepsilon_r T_r \qquad \delta \mathbf{q} = \sum_r \varepsilon_r \mathbf{Q}_r \qquad r = 1,2,\dots,N$

dove $\varepsilon_r$ sono i coefficienti infinitesimi corrispondenti ad ogni generatore $T_r$ di evoluzione temporale e ad ogni generatore $\mathbf{Q}_r$ delle trasformazioni relative alle coordinate generalizzate. Per quanto riguarda le traslazioni $\mathbf{Q}_r$ è la lunghezza spaziale, mentre per le rotazioni è l'angolo.

A partire da tali definizioni Emmy Noether mostrò che le $N$ quantità:

$\left(\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \cdot \dot{\mathbf{q}} - \mathcal L \right) T_r - \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \cdot \mathbf{Q}_r$

sono conservate, ovvero sono costanti del moto.

In modo equivalente, se un sistema lagrangiano ammette un gruppo $\mathbf{q}(\mathbf{Q},s)$ di trasformazioni delle coordinate tale che la lagrangiana sia invariante rispetto a tale trasformazione:

$\mathcal{L}(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}) = \mathcal{L}(\mathbf{Q}, \mathbf{\dot{Q}})$

allora il gruppo è di simmetria e il sistema ha un integrale primo dato da:

$\mathcal{I}(\mathbf{Q}, \mathbf{\dot{Q}}) = \sum_{i} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{\dot{q}}_i}(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}) \frac{\partial \mathbf{q}_i}{\partial s} (\mathbf{Q},0)$

Teoria dei campi

Nella versione generale il teorema di Noether si applica a campi continui definiti nelle quattro dimensioni spaziotemporali. Si consideri un insieme $\boldsymbol \phi$ di campi differenziabili (come ad esempio la temperatura $T(\mathbf x,t)$, che ad ogni punto dello spazio associa un valore scalare), ai quali si può applicare il principio variazionale di Hamilton. L'azione è data da un integrale nello spaziotempo:

$I = \int L \left(\boldsymbol\phi, \partial_\mu{\boldsymbol\phi}, x^\mu \right) \, d^4 x$

con $x^\mu$ le coordinate spaziotemporali. Si può ottenere un'ulteriore generalizzazione ponendo che la lagrangiana dipenda non solo da $\boldsymbol \phi$ e $\partial_\mu{\boldsymbol\phi}$, ma anche dalle derivate successive.

Si supponga che la lagrangiana sia invariante rispetto ad un insieme di trasformazioni delle coordinate e dei campi:

$x^{\mu} \rightarrow x^\mu + \delta x^\mu \qquad \boldsymbol \phi \rightarrow \boldsymbol \phi + \delta \boldsymbol \phi$

dove le trasformazioni possono essere indicizzate con $r = 1, 2, 3, \dots , N$:

$\delta x^\mu = \epsilon_r X^\mu_r \qquad \delta \boldsymbol\phi = \epsilon_r \boldsymbol\Psi_r ~.$

Per un tale sistema il teorema afferma che vi sono $N$ densità di corrente conservate:

$j^\nu_r = - \left( \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol\phi_{,\nu}} \right) \cdot \boldsymbol\Psi_r + \sum_{\sigma} \left[ \left( \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol\phi_{,\nu}} \right) \cdot \boldsymbol\phi_{,\sigma} - L \delta^{\nu}_{\sigma} \right] X_{r}^{\sigma}$

La legge di conservazione è data, nel caso quadridimensionale, dall'equazione di continuità:

$\sum_\nu \frac{\partial j^\nu}{\partial x^\nu} = 0$

e mostra come ad un aumento della quantità conservata all'interno di una superficie sferica corrisponda un flusso (corrente) della quantità conservata attraverso la superficie stessa.

Dimostrazione

Dimostrazione 1

Per l'invarianza della lagrangiana è possibile scrivere:

$\frac{\partial}{\partial s} \mathcal{L}(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}})|_{s=0} = \sum_{i} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{q}_i} (\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}) \frac{\partial \mathbf{q}_i}{\partial s} (\mathbf{Q},0) + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{\dot{q}}_i} (\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}) \frac{\partial \mathbf{\dot{q}}_i}{\partial s} (\mathbf{Q},0) = 0$

ma dato che:

$\frac{\partial \mathbf{\dot{q}}_i}{\partial s} (\mathbf{Q},0) = \frac{\operatorname d}{\operatorname d t} \frac{\partial \mathbf{q}_i}{\partial s} (\mathbf{Q},0)$

si ha che invertendo l'ordine di derivazione:

$\sum_{i} \left[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{q}_i} (\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}) \frac{\partial \mathbf{q}_i}{\partial s} (\mathbf{Q},0) - \frac{\operatorname d}{\operatorname d t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{\dot{q}}_i} (\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}) \frac{\partial \mathbf{q}_i}{\partial s} (\mathbf{Q},0) + \frac{\operatorname d}{\operatorname d t} \left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{\dot{q}}_i} (\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}) \frac{\partial \mathbf{q}_i}{\partial s} (\mathbf{Q},0) \right) \right]=0$

L'asserto segue quindi direttamente dalle equazioni della meccanica, infatti i primi due addendi della sommatoria costituiscono le equazioni di Eulero Lagrange, quindi la loro somma algebrica risulta zero per ogni indice, rimane quindi la derivata totale rispetto al tempo dell'ultima quantità che è uguale a zero, dunque dalle note regole di derivazione tale quantità e necessariamente costante. Allora il teorema è dimostrato.

Dimostrazione 2

Si consideri un sistema fisico descritto da un campo $\psi$. Quando una certa quantità è invariante per una trasformazione del sistema allora la corrispondente lagrangiana è simmetrica, ossia se $\psi$ si trasforma per una trasformazione infinitesima $\alpha$ come:

$\psi \rarr \psi + \alpha \Delta \psi$

la lagrangiana $\mathcal {L}$, dovendo essere invariante, deve diventare:

$\mathcal {L} \rarr \mathcal {L} + \alpha \partial _\mu \mathcal {J}^\mu$

dove $\mathcal {J}$ rappresenta una corrente di una qualche quantità che fluisce attraverso la superficie dell'integrale che definisce l'azione.

In generale, la variazione di $\mathcal {L}$ si può scrivere come:

$\alpha \Delta \mathcal {L} = \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial \psi} ( \alpha \Delta \psi) + \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial (\partial_\mu \psi)} \partial _\mu ( \alpha \Delta \psi)$

Considerando la derivata di un prodotto, il secondo termine si può riscrivere come:

$\partial _\mu \left( \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial (\partial_\mu \psi)} \alpha \Delta \psi \right) - \alpha \Delta \psi\partial _\mu \left( \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial ( \partial_\mu \psi)} \right)$

Sostituendo e prendendo a fattor comune $\alpha\Delta\psi$ si ottiene:

$- \alpha \Delta \psi \left( \partial _\mu \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial (\partial_\mu \psi)} -\frac {\partial \mathcal {L}}{\partial (\partial_\mu \psi)} \right) + \partial _\mu \left( \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial ( \partial_\mu \psi)} \alpha \Delta \psi \right)$

Ricordando l'equazione di Eulero-Lagrange, quanto sopra diventa:

$\partial _\mu \left( \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial ( \partial_\mu \psi)} \alpha \Delta \psi \right)$

ossia:

$\partial _\mu \left( \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial ( \partial_\mu \psi)} \alpha \Delta \psi \right) = \alpha \partial _\mu \mathcal {J}^\mu$

Riscrivendo il tutto, si può vedere come ci sia una conservazione della corrente $\mathcal {J}$ notando che:

$\partial _\mu \left( \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial ( \partial_\mu \psi)} \Delta \psi - \mathcal {J}^\mu \right) = 0$

Questo risultato dimostra il teorema di Noether.

Derivazioni

Il caso più semplice è quello di un sistema di una variabile indipendente, il tempo. Si può ricavare il teorema anche a partire da una varietà differenziabile.

Una variabile indipendente

Si supponga che le variabili dipendenti $\mathbf q$ siano tali che l'azione, data dall'integrale della lagrangiana:

$I = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal L [\mathbf{q} [t], \dot{\mathbf{q}} [t], t] \, dt$

sia invariante rispetto a variazioni infinitesime di esse. In altre parole, deve essere soddisfatta l'equazione di Eulero-Lagrange:

$\frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} [t] = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf{q}} [t]$

Si supponga che l'integrale azione sia invariante rispetto ad una simmetria continua. Una tale simmetria è rappresentata da un flusso $\phi$ che agisce sulle variabili nel seguente modo:

$t \rightarrow t' = t + \varepsilon T \!$

$\mathbf{q} [t] \rightarrow \mathbf{q}' [t'] = \phi [\mathbf{q} [t], \varepsilon] = \phi [\mathbf{q} [t' - \varepsilon T], \varepsilon]$

dove $\varepsilon$ è una variabile reale che quantifica l'incremento del flusso, mentre $T$ è una costante reale relativa alla traslazione del flusso nel tempo (può essere nulla). Si ha:

$\dot{\mathbf{q}} [t] \rightarrow \dot{\mathbf{q}}' [t'] = \frac{d}{dt} \phi [\mathbf{q} [t], \varepsilon] = \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} [\mathbf{q} [t' - \varepsilon T], \varepsilon] \dot{\mathbf{q}} [t' - \varepsilon T]$

e l'integrale azione diventa:

$\begin{align} I' [\varepsilon] & = \int_{t_1 + \varepsilon T}^{t_2 + \varepsilon T} \mathcal L [\mathbf{q}'[t'], \dot{\mathbf{q}}' [t'], t'] \, dt' \\[6pt] & = \int_{t_1 + \varepsilon T}^{t_2 + \varepsilon T} \mathcal L [\phi [\mathbf{q} [t' - \varepsilon T], \varepsilon], \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} [\mathbf{q} [t' - \varepsilon T], \varepsilon] \dot{\mathbf{q}} [t' - \varepsilon T], t'] \, dt' \end{align}$

L'azione può essere considerata in funzione soltanto di $\varepsilon$. Calcolandone la derivata in $\varepsilon=0$ e sfruttando la simmetria si ottiene:

$\begin{align} 0 & = \frac{d I'}{d \varepsilon} [0] = \mathcal L [\mathbf{q} [t_2], \dot{\mathbf{q}} [t_2], t_2] T - \mathcal L [\mathbf{q} [t_1], \dot{\mathbf{q}} [t_1], t_1] T \\[6pt] & {} + \int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf{q}} \left( - \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} T + \frac{\partial \phi}{\partial \varepsilon} \right) + \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \left( - \frac{\partial^2 \phi}{(\partial \mathbf{q})^2} {\dot{\mathbf{q}}}^2 T + \frac{\partial^2 \phi}{\partial \varepsilon \partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} - \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} \ddot{\mathbf{q}} T \right) \, dt \end{align}$

L'equazione di Eulero–Lagrange implica che:

$\begin{align} \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} T \right) & = \left( \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \right) \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} T + \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \left( \frac{d}{dt} \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} \right) \dot{\mathbf{q}} T + \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} \ddot{\mathbf{q}} \, T \\[6pt] & = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf{q}} \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} T + \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \left( \frac{\partial^2 \phi}{(\partial \mathbf{q})^2} \dot{\mathbf{q}} \right) \dot{\mathbf{q}} T + \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} \ddot{\mathbf{q}} \, T \end{align}$

e sostituendo nella precedente equazione si giunge a:

$\begin{align} 0 & = \frac{d I'}{d \varepsilon} [0] = \mathcal L [\mathbf{q} [t_2], \dot{\mathbf{q}} [t_2], t_2] T - \mathcal L [\mathbf{q} [t_1], \dot{\mathbf{q}} [t_1], t_1] T - \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} [t_2] T + \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} [t_1] T \\[6pt] & {} + \int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf{q}} \frac{\partial \phi}{\partial \varepsilon} + \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial^2 \phi}{\partial \varepsilon \partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} \, dt \end{align}$

Utilizzando quindi nuovamente l'equazione di Eulero–Lagrange:

$\frac{d}{d t} \left( \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \phi}{\partial \varepsilon} \right) = \left( \frac{d}{d t} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \right) \frac{\partial \phi}{\partial \varepsilon} + \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial^2 \phi}{\partial \varepsilon \partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf{q}} \frac{\partial \phi}{\partial \varepsilon} + \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial^2 \phi}{\partial \varepsilon \partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}}$

ed inserendo nella precedente relazione si può scrivere:

$\begin{align} 0 & = \mathcal L [\mathbf{q} [t_2], \dot{\mathbf{q}} [t_2], t_2] T - \mathcal L [\mathbf{q} [t_1], \dot{\mathbf{q}} [t_1], t_1] T - \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} [t_2] T + \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} [t_1] T + \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \phi}{\partial \varepsilon} [t_2] - \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \phi}{\partial \varepsilon} [t_1] \end{align}$

da cui si evince che la quantità:

$\left( \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} - \mathcal L \right) T - \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \phi}{\partial \varepsilon}$

è una costante del moto, ovvero è una quantità conservata.

Dato che $\phi[\mathbf q,0]= \mathbf q$ si ha:

$\frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} = 1$

e la quantità conservata si semplifica assumendo la forma:

$\left( \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \dot{\mathbf{q}} - \mathcal L \right) T - \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \phi}{\partial \varepsilon}$

Nella derivazione si è assunto che il flusso non varia nel tempo, ed un risultato più generale si ottiene in un modo equivalente.

Varietà differenziabili

Si consideri una varietà liscia $M$ ed una varietà bersaglio $T$. Sia $\mathcal{C}$ lo spazio delle configurazioni delle funzioni lisce da $M$ a $T$. In modo più generale si possono considerare sezioni del fibrato lungo $M$. In meccanica classica, ad esempio, $M$ è la varietà monodimensionale $\mathbb{R}$ che rappresenta il tempo, e lo spazio bersaglio è il fibrato cotangente dello spazio delle posizioni generalizzate.

L'azione è un funzionale del tipo:

$\mathcal{S}:\mathcal{C}\rightarrow \R$

che mappa su $\mathbb{R}$ (e non su $\mathbb{C}$ per ragioni fisiche). Affinché l'azione sia locale è necessario imporre ulteriori restrizioni sul funzionale: se $\phi\in\mathcal{C}$ si assume che $S(\phi)$ sia l'integrale su $M$ della lagrangiana $\mathcal{\mathcal L}(\phi,\partial\phi,\partial\partial\phi, ...,x)$, che è funzione di $\phi$, delle sue derivate e della posizione. Esplicitamente, l'azione è definita nel seguente modo:

$\mathcal S[\phi]\equiv\int_M \mathcal{\mathcal L}(\phi(x),\partial\phi(x),\partial\partial\phi(x), ...,x)d^nx \qquad \forall\phi\in\mathcal{C}$

La maggior parte delle volte si assume che la lagrangiana dipenda soltanto dal valore del campo e dalla sua derivata prima, sebbene questo non sia vero in generale.

Se $M$ è compatto, le condizioni al contorno si ottengono specificando i valori di $\phi$ sulla frontiera. In caso contrario si possono fornire opportuni limiti per $\phi$ quando $x$ tende all'infinito. Questo rende possibile ottenere l'insieme delle funzioni $\phi$ tali che tutte le derivate funzionali di $S$ su $\phi$ sono nulle e $\phi$ soddisfa le condizioni al contorno date. Tale insieme è determinato, considerando le condizioni al contorno, dalle soluzioni on shell delle equazioni di Eulero-Lagrange:

$\frac{\delta\mathcal{S}}{\delta\varphi}= - \partial_\mu \left(\frac{\partial\mathcal{\mathcal L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right) + \frac{\partial\mathcal{\mathcal L}}{\partial\phi}=0$

Il membro sinistro è la derivata funzionale dell'azione rispetto a $\phi$. In meccanica classica la lagrangiana è data dalla differenza tra l'energia cinetica $T$ e l'energia potenziale $U$.

Si consideri una trasformazione infinitesima su $\mathcal{C}$ generata da un funzionale $Q$ tale che:

$Q \left[ \int_N \mathcal{\mathcal L} \, \mathrm{d}^n x \right] \approx \int_{\partial N} f^\mu [\phi(x),\partial\phi,\partial\partial\phi,\ldots] \mathrm{d}s_{\mu}$

per ogni sottovarietà $N$. In modo equivalente:

$Q[\mathcal{\mathcal L}(x)]\approx\partial_\mu f^\mu(x) \quad \forall x$

dove:

$\mathcal{\mathcal L}(x)=\mathcal{\mathcal L}[\phi(x), \partial_\mu \phi(x),x]$

Se questo vale on shell ed off shell allora $Q$ genera una simmetria off shell. Se invece vale solo on shell, allora $Q$ genera una simmetria on shell. Il funzionale $Q$ è un generatore un gruppo di simmetria di Lie ad un parametro.

Per il teorema di Eulero–Lagrange per ogni $N$ si ha, on shell:

$Q\left[\int_N \mathcal{\mathcal L} \, \mathrm{d}^nx \right]$

$=\int_N \left[\frac{\partial\mathcal{\mathcal L}}{\partial\phi}- \partial_\mu\frac{\partial\mathcal{\mathcal L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right]Q[\phi] \, \mathrm{d}^nx + \int_{\partial N} \frac{\partial\mathcal{\mathcal L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}Q[\phi] \, \mathrm{d}s_\mu \approx\int_{\partial N} f^\mu \, \mathrm{d}s_\mu$

Dato che questo vale per ogni $N$ vale la relazione:

$\partial_\mu\left[\frac{\partial\mathcal{\mathcal L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}Q[\phi]-f^\mu\right]\approx 0$

che è l'equazione di continuità per la corrente di Noether $J^\mu$ associata alla simmetria, definita da:

$J^\mu\,=\,\frac{\partial\mathcal{\mathcal L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}Q[\phi]-f^\mu$

Se si integra la corrente di Noether su una sezione di tipo tempo si ottiene una quantità conservata detta carica di Noether.

Esempi

Supponiamo di trattare un sistema bidimensionale, e di considerare una trasformazione di coordinate $\vec{x}=(x,y) \rightarrow \vec{f}$ così definita:

$f_{1} = x + s \qquad f_{2} = y$

Secondo il teorema, si ha che:

$\frac{\partial f_{n}}{\partial s} = 1 \quad n = 1$

$\frac{\partial f_{n}}{\partial s} = 0 \quad n \neq 1$

Quindi, automaticamente si conserverà la quantità:

$p_1 = \sum_{i} \frac{\partial f_{i}}{\partial s}(t,0) \, p_{i} = \mathrm{costante}$

Questo significa che per un sistema che ha un'invarianza per traslazioni nella direzione $x$, si conserverà il momento lineare (quantità di moto) in quella direzione.

Bibliografia

• (EN) The heritage of Emmy Noether in algebra, geometry and physics. Bar Ilan University, Tel Aviv (Israel), 2-3 dicembre 1996
• (EN) Herbert Goldstein, Classical Mechanics, 2nd, Reading MA, Addison-Wesley, 1980, 588–596. ISBN 0-201-02918-9
• (EN) Yvette Kosmann-Schwarzbach, The Noether theorems: Invariance and conservation laws in the twentieth century, Springer-Verlag, 2010. ISBN 978-0-387-87867-6
• (EN) Cornelius Lanczos, The Variational Principles of Mechanics, 4th, New York, Dover Publications, 1970, 401–5. ISBN 0-486-65067-7
• (EN) Dwight E. Neuenschwander, Emmy Noether's Wonderful Theorem, Johns Hopkins University Press, 2010. ISBN 978-0-8018-9694-1 URL consultato il 24 novembre 2010.
• (EN) Hanca, J.; Tulejab, S.; Hancova, M. (2004). Symmetries and conservation laws: Consequences of Noether's theorem. American Journal of Physics 72 (4): 428–35. DOI:10.1119/1.1591764.
• (EN) Montesinos, Merced (2006). Symmetric energy-momentum tensor in Maxwell, Yang-Mills, and Proca theories obtained using only Noether's theorem. Revista Mexicana de Física 52: 29.
• (EN) (2009). Gauge conservation laws in a general setting. Superpotential. International Journal of Geometric Methods in Modern Physics 6 (06): 1047. DOI:10.1142/S0219887809003862.

Voci correlate

• Azione (fisica)
• Calcolo delle variazioni
• Equazioni di Hamilton
• Integrale funzionale
• Funzionale generatore
• Lagrangiana
• Legge di conservazione
• Meccanica hamiltoniana
• Meccanica lagrangiana
• Meccanica razionale
• Metodo variazionale
• Principio di conservazione
• Principio variazionale di Hamilton
• Teoria di gauge
• Teoria di Hamilton-Jacobi

Collegamenti esterni

• (EN) D.V. Alekseevskii, "Noether theorem" SpringerLink Encyclopaedia of Mathematics (2001)
• Noether's Theorem at MathPages.

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