Teorema di Myhill-Nerode

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Nella teoria dei linguaggi formali il teorema di Myhill-Nerode fornisce una condizione necessaria e sufficiente per stabilire se un linguaggio sia regolare o meno.

Secondo il teorema di Myhill-Nerode, ogni linguaggio regolare sull'alfabeto \Sigma consiste nell'unione di classe di equivalenza di una relazione invariante a destra di indice finito sulla chiusura di Kleene di \Sigma.

Definizioni[modifica | modifica sorgente]

Dato un automa a stati finiti deterministico M=\left(Q,\Sigma,\delta,q_{0},F\right) si definisce la relazione di equivalenza

R_{M}:xR_{M}y\Longleftrightarrow\hat{\delta}\left(q_{0},x\right)=\hat{\delta}\left(q_{0},y\right)

Tale relazione di equivalenza è invariante a destra se:

\hat{\delta}\left(q_{0},xz\right)=\hat{\delta}\left(\hat{\delta}\left(q_{0},x\right),z\right)=\hat{\delta}\left(\hat{\delta}\left(q_{0},y\right),z\right)=\hat{\delta}\left(q_{0},yz\right) supponendo xR_{M}y.

Enunciato del teorema[modifica | modifica sorgente]

Il teorema di Myhill-Nerode afferma che sono equivalenti le affermazioni:

  1. L\subseteq\Sigma^{*} è regolare
  2. L è l'unione di alcune classi di equivalenza di una relazione di equivalenza di indice finito (ossia che individua un numero finito di classi di equivalenza) invariante a destra
  3. la relazione di equivalenza: \forall x,y\in\Sigma^{*},xR_{L}y\Longleftrightarrow\forall z\in\Sigma^{*},xz\in L\Longleftrightarrow yz\in L è di indice finito.

Usi e conseguenze[modifica | modifica sorgente]

La diretta conseguenza del teorema di Myhill-Nerode è che un linguaggio L è regolare se e solo se il numero di classi di equivalenza della relazione R_{L} è finito. Come corollario, un linguaggio che definisca un insieme infinito di classi di equivalenza non è regolare. Tale corollario può essere usato per dimostrare la non regolarità di un linguaggio.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Anil Nerode, Linear Automaton Transformations in Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 9, nº 4, agosto 1958, pp. 541-544. URL consultato l'11 giugno 2011.
  • (EN) Jan van Leeuwen, Lower bounds: formal language theory in Handbook of Theoretical Computer Science, Vol. A: Algorithms and Complexity, The MIT Press, 4 gennaio 1994, ISBN 978-0-262-72014-4.
  • (EN) Martin Davis, Ron Sigal; Elaine J. Weyuker, The Myhill-Nerode Theorem in Computability, Complexity, and Languages: Fundamentals of Theoretical Computer Science, Morgan Kaufmann, 17 febbraio 1994, ISBN 978-0-12-206382-4.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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