Teorema di Liouville (meccanica Hamiltoniana)

In meccanica hamiltoniana il teorema di Liouville stabilisce che nell'evoluzione di un sistema conservativo, la derivata temporale della densità di stati nello spazio delle fasi è nulla, ovvero si conserva anche la densità di stati nello spazio delle fasi.

Enunciazione rigorosa

Dato un sistema meccanico con $N$ gradi di libertà, lo spazio delle fasi è uno spazio a $2N \!$ dimensioni sui cui assi coordinati si riportano le $N \!$ coordinate generalizzate e gli $N \!$ impulsi generalizzati del sistema meccanico dato. Ciascun punto di questo spazio rappresenta un determinato stato meccanico del sistema. Quando il sistema evolve, il punto fase che rappresenta il suo stato descrive nello spazio delle fasi una curva detta traiettoria di fase.

L'evoluzione dinamica di un sistema meccanico con $N \!$ gradi di libertà definito dalle coordinate generalizzate di posizione e impulso $\left( {q_i ,p_i } \right)$ con $i = 1, \ldots ,N$ è determinata dalle equazioni di Hamilton

$\dot q_i = \frac{{\partial \mathcal H}}{{\partial p_i }}$

$\dot p_i = - \frac{{\partial \mathcal H}}{{\partial q_i }}$

dove $\mathcal H$ è l'Hamiltoniana del sistema.

Se i punti dello spazio delle fasi che rappresentano configurazioni diverse ma stesso stato macroscopico sono distribuiti in modo regolare, allora si può definire una densità di configurazioni $\rho \left( {q_i ,p_i ,t} \right)$ nell'intorno del punto $\left( {q_i ,p_i } \right)$. Il teorema di Liouville stabilisce che la derivata temporale totale di tale densità è nulla. È quindi possibile pensare tali punti rappresentativi come costituenti un fluido (entro lo spazio delle fasi, ben inteso) incomprimibile.

$\frac{{d\rho }}{{dt}} = 0$

Dimostrazione

Tenendo conto che nello spazio delle fasi le traiettorie sono percorse con velocità $\mathbf{v}_i = \left( {\dot q_i ,\dot p_i } \right)$, vale l'equazione di continuità

$\frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} + \sum\limits_i {\nabla _{q_i ,p_i } } \cdot \left( {\rho \mathbf{v}_i } \right) = 0$

ovvero

$\frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} + \sum\limits_i {\frac{{\partial \left( {\rho \dot q_i } \right)}}{{\partial q_i }}} + \sum\limits_i {\frac{{\partial \left( {\rho \dot p_i } \right)}}{{\partial p_i }}} = 0$

$\frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} + \sum\limits_i {\dot q_i \frac{{\partial \rho }}{{\partial q_i }}} + \sum\limits_i {\dot p_i \frac{{\partial \rho }}{{\partial p_i }}} + \rho \sum\limits_i {\left( {\frac{{\partial \dot q_i }}{{\partial q_i }} + \frac{{\partial \dot p_i }}{{\partial p_i }}} \right)} = 0$

utilizzando ora le equazioni di Hamilton risulta

$\frac{{\partial \dot q_i }}{{\partial q_i }} + \frac{{\partial \dot p_i }}{{\partial p_i }} = \frac{\partial }{{\partial q_i }}\left( {\frac{{\partial \mathcal H}}{{\partial p_i }}} \right) + \frac{\partial }{{\partial p_i }}\left( { - \frac{{\partial \mathcal H}}{{\partial q_i }}} \right) = 0$

e quindi in definitiva si ottiene

$\frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} + \sum\limits_i {\dot q_i \frac{{\partial \rho }}{{\partial q_i }}} + \sum\limits_i {\dot p_i \frac{{\partial \rho }}{{\partial p_i }}} = \frac{{d\rho }}{{dt}} = 0$

Considerazioni ulteriori

Un altro modo di vedere il teorema di Liouville è il seguente: consideriamo un volume elementare nello spazio delle fasi $d\Gamma = dq_1 \cdots dq_N dp_1 \cdots dp_N = d^N q_i d^N p_i$.

Poiché il numero di stati si conserva, per diversi istanti di tempo $t$ e $t'$ risulta

$\rho d^N q_i d^N p_i = \rho 'd^N q'_i d^N p'_i \!$

ovvero in forma differenziale:

$\frac {\operatorname d}{\operatorname dt} (\rho d^N q_i d^N p_i)=0 \!$

e siccome il teorema di Liouville implica che $\rho = \rho '$, allora

$d^N q_i d^N p_i = d^N q'_i d^N p'_i \!$

$\frac {\operatorname d}{\operatorname dt} (d^N q_i d^N p_i)=0 \!$

ovvero gli stati di un sistema occupano, nello spazio delle fasi, volumi sempre uguali, anche se eventualmente distorti a seguito delle curve percorse dai singoli punti.

Voci correlate

• Meccanica hamiltoniana

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