Teorema di Krein-Milman

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Lo spazio convesso (in blu) è l'inviluppo convesso dei propri punti estremali (in rosso)

Il teorema di Krein-Milman è una proposizione riguardante gli insiemi convessi in uno spazio vettoriale topologico. Un caso particolare di questo teorema afferma che, dato un poligono convesso, è sufficiente sapere quali sono i suoi angoli per ricostruirne l'immagine intera. L'enunciato è falso però se il poligono non è convesso: in questo caso, ci sono più modi per disegnare un poligono dati gli angoli.

Formalmente, dato uno spazio vettoriale topologico localmente connesso X, e preso un suo sottinsieme K compatto e convesso, il teorema afferma che esso è l'inviluppo convesso chiuso dei suoi punti estremali.

Hermann Minkowski aveva già dimostrato che in uno spazio di dimensione finita ogni sottinsieme convesso era l'inviluppo convesso dei propri punti estremali. Il teorema di Krein-Milman è una generalizzazione ad arbitrari spazi localmente convessi, con l'aggiunta però della chiusura.

Il teorema prende il nome dai matematici Mark Grigoryevich Krein e David Milman.

L'enunciato del teorema[modifica | modifica sorgente]

Sia X uno spazio localmente convesso e K\subseteq X non vuoto, compatto e convesso. Allora Ext(K) \neq \varnothing e K=\overline{co}(Ext(K)) (dove Ext(K) denota l'insieme dei punti estremali di K e \overline{co}(Ext(K)) l'inviluppo convesso chiuso di Ext(K))

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